Символ Лежандра: различия между версиями

* [[Мультипликативная функция|Мультипликативность]]: <math>\textstyle \left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)</math>.

* Если <math>a\equiv b\pmod p</math>, то <math>\textstyle \left(\frac{a}{p}\right)=\left(\frac{b}{p}\right)</math>.

* <math>\textstyle \left(\frac{1}{p}\right)=1.</math>

* <math>\textstyle \left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{(p-1)/2}.</math>

* <math>\textstyle \left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{(p^2-1)/8}.</math>

* Если <math>''q</math>'' — простое число, не равное <math>''p</math>'', то <math>\textstyle \left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}</math> — частный случай [[квадратичный закон взаимности|квадратичного закона взаимности]].

* Среди чисел <math>\textstyle 1\leqslant a\leqslant p-1</math> ровно половина имеет символ Лежандра, равный +1, а другая половина — равный −1.

* Символ Лежандра при <math>p>2</math> можно вычислить по формуле [[Эйлер, Леонард|Эйлера]]: <math>\textstyle \left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{(p-1)/2}\pmod p</math>.