Числа Каллена: различия между версиями

В [[математика|математике]] числами Каллена называют [[натуральное число|натуральные числа]] вида ''n'' • 2^''n'' + 1 (пишется ''C''_''n''). Числа Каллена впервые были изучены [[Джеймс Каллен (математик)|Джеймсом Калленом]] в 1905. Числа Каллена – — это особый вид [[Число Прота|чисел Прота]].

В 1976 году [[Кристофер Хулей]] (Christopher Hooley ) показал, что [[Плотность последовательности]] положительных целых <math>n \leq x</math>, для которых ''C_n'' простое, есть ''o(x)'' для <math>x\to\infty</math>. В этом смысле [[почти все]] числа Каллена [[Составное число|составные]]. Доказательство Кристофера Хулей было переработано математиком [[Хирми Суяма]] чтобы показать, что оно верно для любой последовательности чисел ''n'' • 2^''n''+''a'' + ''b'' где ''a'' и ''b'' целые числа, и частично также для [[число Вудала|чисел Вудала]]. Все известные числа '''числа Каллена''' соответствуют ''n'', равному:

: 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 {{OEIS|id=A005849}}.

К августу 2009, наибольшим известным числом Каллена было 6679881&nbsp;&times;&nbsp;2^6679881&nbsp;+&nbsp;1. Это [[мегапростое]] число с 2,010,852 знаками было открыто соучастником [[PrimeGrid]] из Японии.<ref>{{Citation |url=http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=89536 |title=The Prime Database: 6679881*2^6679881+1 |work=Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database |accessdate=December 22, 2009 }}</ref>

Числа Каллена ''C_n'' делятся на ''p''&nbsp;=&nbsp;2''n''&nbsp;&minus;&nbsp;1 если ''p'' [[простое число]] вида 8''k''&nbsp;-&nbsp;3. Это следует из [[малая теорема Ферма|малой теоремы Ферма]], так что если ''p'' простое нечетное, то p делит ''C''_''m''(''k'') для каждого ''m''(''k'')&nbsp;=&nbsp;(2^''k''&nbsp;&minus;&nbsp;''k'')&nbsp;

&nbsp;(''p''&nbsp;&minus;&nbsp;1)&nbsp;&minus;&nbsp;''k'' (для ''k''&nbsp;>&nbsp;0). Было также показано, что простое число ''p'' делит ''C''_{(''p''&nbsp;+&nbsp;1)&nbsp;/&nbsp;2} когда [[символ Якоби]] (2&nbsp;|&nbsp;''p'') есть &minus;1, и что ''p'' делит ''C''_{(3''p''&nbsp;&minus;&nbsp;1)&nbsp;/&nbsp;2} когда символ Якоби (2&nbsp;|&nbsp;''p'') есть +1.

Неизвестно, существует ли простое число ''p'', такое что ''C''_''p'' тоже простое.

К февралю 2012 гда наибольшим известным обобщенным простым числом Каллена было 427194&nbsp;&times;&nbsp;113⁴²⁷¹⁹⁴&nbsp;+&nbsp;1. Оно имеет 877,069 знаков и было открыто соучастником [[PrimeGrid]] из США.<ref>{{Citation|url= http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=104121 |title=The Prime Database: 427194 • 113^427194 + 1 |work=Chris Caldwell's The Largest Known Primes Database |accessdate=January 30,2012 }}</ref>

== Дальнейшее чтение ==