Числа Каллена

В математике числами Каллена называют натуральные числа вида (пишется Cn). Числа Каллена впервые были изучены ирландским математиком Джеймсом Калленом в 1905. Числа Каллена — это особый вид чисел Прота.

СвойстваПравить

В 1976 году Кристофер Хулей (Christopher Hooley) показал, что Плотность последовательности положительных целых  , для которых Cn простое, есть o(x) для  . В этом смысле почти все числа Каллена составные. Доказательство Кристофера Хулей было переработано математиком Хирми Суяма чтобы показать, что оно верно для любой последовательности чисел   где a и b целые числа, и частично также для чисел Вудала. Все известные простые числа Каллена соответствуют n, равному:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 последовательность A005849 в OEIS.

Есть предположение, что имеется бесконечно много простых чисел Каллена.

К августу 2009, наибольшим известным простым числом Каллена было  . Это мегапростое число с 2 010 852 знаками было открыто соучастником PrimeGrid из Японии.[1]

Числа Каллена Cn делятся на  , если p простое число вида  . Это следует из малой теоремы Ферма, так что если p простое нечётное, то p делит Cm(k) для каждого   (для k > 0). Было также показано, что простое число p делит  , когда символ Якоби   есть −1, и что p делит  , когда символ Якоби   есть +1.

Неизвестно, существует ли простое число p, такое что Cp тоже простое.

ОбобщенияПравить

Иногда обобщёнными числами Каллена называют числа вида  , где n + 2 > b. Если простое число может быть записано в такой форме, его называют обобщённым простым числом Каллена. Числа Вудала иногда называют числами Каллена второго рода.

К февралю 2012 года наибольшим известным обобщённым простым числом Каллена было  . Оно имеет 877 069 знаков и было открыто соучастником PrimeGrid из США.[2]

СсылкиПравить

Дальнейшее чтениеПравить

СсылкиПравить