Аффинное пространство: различия между версиями

'''Аффинное пространство''' — пространство, обобщающее [[аффинная геометрия|аффинные свойства]] [[Евклидово пространство|евклидова пространства]].
Во многом схоже с [[Векторное пространство|векторным пространством]]; однако для аффинного пространства, в отличие от векторного, характерно то, что все точки являются равноправными (в частности, в нём не определено понятие ''нулевой точки'', или ''начала отсчёта'').

Таким образом, точки аффинного пространства можно ''вычитать'' друг из друга, получая [[вектор (математика)|векторы]] пространства свободных векторов.
А вот результат сложения точки с точкой непосредственного смысла (то есть интерпретации в виде точки или вектора) не имеет.

Выкладки над барицентрическими комбинациями точек во многом схожи с выкладками над линейными комбинациями векторов; например, можно отбрасывать слагаемые с нулевыми коэффициентами.
При таких выкладках полезно иметь в виду следующее общее свойство барицентрических комбинаций: если образовать из нескольких барицентрических комбинаций точек новую барицентрическую комбинацию, то полученная (после приведения подобных членов) комбинация исходных точек вновь будет барицентрической{{sfn|Кострикин А. И., Манин Ю. И. (1986)|с=199}}.

По аналогии с понятием [[линейная независимость|линейной независимости]] векторов вводят понятие ''аффинной независимости'' точек аффинного пространства. Именно: точки <math>P_0, P_1, \ldots, P_n</math> называют{{sfn|Болтянский В. Г. (1973)|с=138}} '''аффинно зависимыми''', если какую-либо из них, скажем, <math>P_0</math>, можно представить в виде ''барицентрической комбинации'' остальных точек.
В противном случае эти точки называются '''аффинно независимыми'''.

[[Размерность пространства|Размерность]] аффинного пространства равна{{sfn|Болтянский В. Г. (1973)|с=135}} по определению размерности соответствующего пространства свободных векторов.
При этом число точек в максимальном аффинно независимом множестве точек аффинного пространства оказывается на единицу больше размерности пространства.

Любое из максимальных аффинно независимых множеств точек аффинного пространства можно трактовать как [[точечный базис]] (перенумеровав данные точки тем или иным способом).
Всякую точку пространства можно представить в виде барицентрической комбинации точек, входящих в точечный базис; коэффициенты этой комбинации называют{{sfn|Кострикин А. И., Манин Ю. И. (1986)|с=199}} [[барицентрические координаты|барицентрическими координатами]] рассматриваемой точки.