Евклидово кольцо: различия между версиями

: Деление с остатком определяется так. Пусть есть две ненулевые дроби <math>x=r/t</math> и <math>y</math> из ''S⁻¹R''. По определению нормы в ''S⁻¹R'' существует элементы ''u'' в ''R'' и ''s'' в ''S'', такие что <math>y=u/s</math> и <math>d_S(y) = d_R(u) </math>. Произведём деление с остатком в кольце ''R'' элементов ''rs'' и ''u'':<br /> ''rs = uq + r''', так что <math>d_R(r')<d_R(u)</math>. Тогда <math>r/t = (u/s)(q/t) + r'/ts</math>. Из построения следуют неравенства <math>d_S(r'/ts)\leleqslant d_R(r')< d_R(u) = d_S(y)</math>.

В евклидовом кольце осуществим [[алгоритм Евклида]] нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (элементов). Пусть изначально даны два элемента ''a₀'' и ''a₁'', причём <math>d(a_1)\leleqslant d(a_0)</math> и <math>a_1\ne 0</math>. Деление с остатком даёт элемент <math>a_2 = a_0 - a_1q_1</math> с <math>d(a_2)<d(a_1)</math>. Если он не равен нулю, можно опять применить деление с остатком, и получить элемент <math>a_3 = a_1 - a_2q_2</math>, и т. д. Таким образом генерируется цепочка значений <math>a_0, a_1, a_2, \dots</math> с <math>d(a_0)>d(a_1)>d(a_2)>\dots</math>. Однако эта цепочка прерывается, поскольку всякое число из <math>N\cup\{-\infty\}</math> может строго превосходить лишь конечное количество других таких чисел. Это означает, что при некотором ''n'' остаток ''a_n+1'' равен нулю, а ''a_n'' не равен, он и есть [[Наибольший общий делитель|НОД]] элементов ''a₀'' и ''a₁''. Следовательно, в евклидовом кольце гарантировано завершение алгоритма Евклида. Строго говоря, именно в евклидовых кольцах и возможна реализация алгоритма Евклида.

** Пусть ''I'' — произвольный идеал в евклидовом кольце. Если он содержит лишь 0, — он главный. В противном случае среди его ненулевых элементов найдётся элемент ''f'' с минимальной нормой (принцип минимума для натуральных чисел). Он делит все остальные элементы идеала: Если ''g'' — произвольный элемент идеала ''I'', представим его в виде ''g = fq + r'' с ''d(r) < d(f)''. Тогда ''r'' -— тоже элемент идеала ''I'' и он обязан быть нулём, так как его норма меньше, чем у ''f''. Следовательно, идеал I содержится в идеале ''(f)''. С другой стороны, всякий идеал, содержащий элемент ''f'', содержит идеал ''(f)''. Значит, ''I = (f)'' -— главный идеал.

* Каждое евклидово кольцо факториально, то есть каждый элемент представим конечным произведением простых элементов, и притом однозначно (с точностью до их перестановки и умножения на обратимые элементы). Факториальность -— общее свойство всех [[кольцо главных идеалов|колец главных идеалов]].

* Каждое евклидово кольцо ''R'' целозамкнуто, то есть если дробь <math>a/b,\,a,b\in R</math>, является корнем многочлена <math>f\in R[x]</math> со старшим коэффициентом, равным 1, тогда <math>a</math> делится на <math>b</math>. Целозамкнутость -— общее свойство всех факториальных колец.

Пусть ''R'' -— евклидово кольцо. Тогда конечнопорождённые ''R''-модули обладают следующими свойствами:

* Всякий подмодуль ''N'' конечнопорождённого ''R''-модуля ''M'' конечно порождён. (следствие нётеровости кольца ''R'').

* Ранг подмодуля ''N'' не превосходит ранга модуля ''M''. (следствие главности идеалов в ''R'').

* Подмодуль свободного ''R''-модуля свободен. (то жетоже).

* Гомоморфизм <math>A: N\to M</math> конечнопорождённых ''R''-модулей всегда приводится к нормальной форме. То есть существуют образующие (базис, если модуль свободен) <math>u_1, u_2, \dots, u_n</math> модуля ''N'', образующие (базис) <math>v_1, v_2, \dots, v_m</math> модуля ''M'', номер <math>k\leleqslant \min\{m,n\}</math> и <math>a_1,\dots,a_k</math> -— элементы кольца ''R'', такие что <math>a_i</math> делит <math>a_{i+1}</math> и при ''i > k'' <math>Au_i = 0</math>, а при остальных — <math>Au_i = a_iv_i</math>. При этом коэффициенты <math>a_1,\dots,a_k</math> определены однозначно с точностью до умножения на обратимые элементы кольца ''R''. (Тут прямо задействована евклидовость кольца ''R''.)