Уравнение Фридмана: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
← Полностью удалено содержимое страницы |
Melirius (обсуждение | вклад) м откат правок 95.55.39.237 (обс) к версии Torin |
||
Строка 1:
{{Космология}}
В [[космология|космологии]], '''Уравнение Фридмана''' — это уравнение, описывающее развитие во времени однородной и изотропной вселенной ([[Вселенная Фридмана|вселенной Фридмана]]) в рамках [[общая теория относительности|общей теории относительности]]. Названо по имени [[Александр Фридман|Александра Фридмана]], который первым вывел это уравнение в 1922 году.
== Уравнение Фридмана ==
Уравнение Фридмана записывается для метрики Фридмана — синхронной метрики однородного изотропного пространства (пространства постоянной кривизны),
: <math>
ds^2 = dt^2 - a(t)^2 dl^2 \,,
</math>
где <math>dl^2</math> — пространственный элемент длины в пространстве постоянной кривизны, <math>a(t)</math> — масштаб (“размер”) вселенной.
Геометрически, пространство постоянной кривизны может быть трёх видов --- сфера (закрытое), [[псевдосфера]] (открытое), и плоское пространство.
=== Закрытая (конечная) вселенная с положительной кривизной пространства ===
Для закрытой вселенной метрика Фридмана равна
: <math>
ds^{2} = a(\eta)^{2}\left(d\eta^{2} - d\chi^{2} -\sin^{2}\chi (d\theta^{2}
+\sin^{2}\theta d\phi^{2})\right) \,,
</math>
где <math>r=a\cdot\sin\chi</math>, <math>\chi\in[0,\pi]</math>; <math>\theta,\,\phi</math> – сферические углы; <math>\eta</math> – масштабированное время, <math>ad\eta=dt</math>.
Компоненты [[Тензор_Риччи|тензора Риччи]] для этой метрики равны
: <math>
R^{\chi}_{\chi} = R^{\theta}_{\theta} = R^{\phi}_{\phi} =
-\frac{1}{a^{4}}(2a^{2}+a'^{2}+aa'')\;,
</math>
: <math>
R^{\eta}_{\eta} = \frac{3}{a^{4}}(a'^{2}-aa'')\;,
</math>
: <math>
R = -\frac{6}{a^{3}}(a+a'')\;,
</math>
где штрих означает дифференцирование по <math>\eta</math>.
Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса равен
: <math>
T_{ab}=(\epsilon + p)u_{a}u_{b} - pg_{ab}
</math>
где <math>\epsilon</math> плотность энергии, <math>p</math> -- давление. В синхронных координатах материя находится в состоянии покоя, поэтому 4-скорость
равна <math>u^a=\{\frac{1}{a(t)},0,0,0\}</math>.
Временная компонента [[уравнения Эйнштейна]],
: <math>
R^{\eta}_{\eta}-\frac{1}{2}R = \kappa{}T^{\eta}_{\eta} \,,
</math>
с указанным тензором Риччи и тензором энергии-импульса и является ''уравнением Фридмана'',
<blockquote style="border:1px dotted gray; padding-left:20px">
: <math>
\frac{3}{a^{4}}(a^{2}+a'^{2}) = \kappa\epsilon \,.
</math>
</blockquote>
Если связь плотности энергии <math>\epsilon</math> и давления <math>p</math> (уравнение состояния) известна, то можно найти зависимость плотности энергии от масштаба вселенной <math>a</math>, используя уравнение сохранения энергии
:<math>
d\epsilon=-(\epsilon + p)\frac{3da}{a}\,.
</math>
В этом случае можно выразить решение уравнения Фридмана в виде интеграла,
:<math>
\eta = \pm \int \frac{da}{a\sqrt{\frac{1}{3}\kappa\epsilon a^2-1}}\,.
</math>
=== Открытая (бесконечная) вселенная с отрицательной кривизной пространства===
Для открытой вселенной метрика Фридмана равна
: <math>
ds^{2} = a(\eta)^{2}\left(d\eta^{2} - d\chi^{2} -\sinh^{2}\chi (d\theta^{2}
+\sin^{2}\theta d\phi^{2})\right) \,,
</math>
где <math>r=a\cdot\sinh\chi</math>, <math>\chi\in[0,\infty]</math>; <math>\theta,\,\phi</math> – сферические углы; <math>\eta</math> – масштабированное время, <math>ad\eta=dt</math>.
Очевидно, эта метрика получается из метрики закрытой вселенной подстановкой <math>\{a,\eta,\chi\}\to\{ia,i\eta,i\chi\}</math>.
Соответственно уравнение Фридмана для открытой вселенной есть
<blockquote style="border:1px dotted gray; padding-left:20px">
: <math>
\frac{3}{a^{4}}(-a^{2}+a'^{2}) = \kappa\epsilon \,.
</math>
</blockquote>
=== Открытая (бесконечная) и плоская вселенная ===
Для плоской вселенной метрика Фридмана равна
: <math>
ds^{2} = a(\eta)^{2}\left(d\eta^{2} - d\chi^{2} - \chi^{2} (d\theta^{2}
+\sin^{2}\theta d\phi^{2})\right) \,,
</math>
где <math>r=a\chi</math>, <math>\chi\in[0,\infty]</math>; <math>\theta,\,\phi</math> – сферические углы; <math>\eta</math> – масштабированное время, <math>ad\eta=dt</math>.
Очевидно, эта метрика формально получается из метрики закрытой вселенной в пределе <math>r \ll a \to \infty</math>.
Замечая, что <math>a'/a^2=\dot a/a</math>, где <math>\dot a \equiv da/dt</math>, уравнение Фридмана для плоской вселенной получается в указанном пределе как
<blockquote style="border:1px dotted gray; padding-left:20px">
: <math>
3\frac{{\dot a}^2}{a^{2}} = \kappa\epsilon \,.
</math>
</blockquote>
== Решения уравнения Фридмана ==
Уравнение Фридмана может быть проинтегрировано аналитически для двух важных предельных случаев -- вселенной, заполненной пылью; и вселенной, заполненной излучением.
{{phys-stub}}
[[en:Friedmann_equations]]
| |||