Открыть главное меню

Уравнение Фридмана

Космология
Ilc 9yr moll4096.png
Изучаемые объекты и процессы
История Вселенной
Наблюдаемые процессы
Теоретические изыскания

Уравнение Фридмана в космологии — уравнение, описывающее развитие во времени однородной и изотропной Вселенной (Вселенной Фридмана) в рамках общей теории относительности. Названо по имени Александра Александровича Фридмана, который первым вывел это уравнение в 1922 году[1].

Уравнение ФридманаПравить

Уравнение Фридмана записывается для метрики Фридмана — синхронной метрики однородного изотропного пространства (пространства постоянной кривизны)[2],

 

где   — элемент длины в пространстве постоянной кривизны,   — масштаб (“размер”) вселенной.

Пространство постоянной кривизны может быть трёх видов — сфера (закрытое), псевдосфера (открытое), и плоское пространство.

Сферические координатыПравить

Закрытая (конечная) вселенная с положительной кривизной пространстваПравить

Для закрытой вселенной метрика Фридмана равна

 

где  фотометрическое расстояние,  ;   – сферические углы;   – масштабированное время,  .

Компоненты тензора Риччи для этой метрики равны

 
 
 

где штрих означает дифференцирование по  .

Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса равен

 

где   плотность энергии,  —давление. В синхронных координатах материя находится в состоянии покоя, поэтому 4-скорость равна  .

Временная компонента уравнения Эйнштейна,

 

с указанным тензором Риччи и тензором энергии-импульса и является уравнением Фридмана,

 

Если связь плотности энергии   и давления   (уравнение состояния) известна, то можно найти зависимость плотности энергии от масштаба вселенной  , используя уравнение сохранения энергии

 

В этом случае можно выразить решение уравнения Фридмана в виде интеграла,

 

Открытая (бесконечная) вселенная с отрицательной кривизной пространстваПравить

Для открытой вселенной метрика Фридмана равна

 

где  ,  ;   – сферические углы;   – масштабированное время,  .

Очевидно, эта метрика получается из метрики закрытой вселенной подстановкой  .

Соответственно уравнение Фридмана для открытой вселенной есть

 

Открытая (бесконечная) и плоская вселеннаяПравить

Для плоской вселенной метрика Фридмана равна

 

где  ,  ;   – сферические углы;   – масштабированное время,  .

Очевидно, эта метрика формально получается из метрики закрытой вселенной в пределе  .

Замечая, что  , где  , уравнение Фридмана для плоской вселенной получается в указанном пределе как

 

Приведённые радиальные координатыПравить

В этих координатах метрика пространства с постоянной кривизной равна

 

где   — сферические угловые координаты;

  — приведённая радиальная координата, определяемая следующим образом: длина окружности радиуса   с центром в начале координат равна  
  — константа, принимающей значение 0 для плоского пространства, +1 для пространства с постоянной положительной кривизной, −1 для пространства с постоянной отрицательной кривизной;
 

Решения уравнения ФридманаПравить

Уравнение Фридмана может быть проинтегрировано аналитически для двух важных предельных случаев — вселенной, заполненной пылью, и вселенной, заполненной излучением.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Friedman, A. Über die Krümmung des Raumes (нем.) // Zeitschrift für Physik : magazin. — 1922. — Bd. 10, Nr. 1. — S. 377—386. — DOI:10.1007/BF01332580. — Bibcode1922ZPhy...10..377F. (English translation: Friedman, A. On the Curvature of Space (англ.) // General Relativity and Gravitation : journal. — 1999. — Vol. 31, no. 12. — P. 1991—2000. — DOI:10.1023/A:1026751225741. — Bibcode1999GReGr..31.1991F.). The original Russian manuscript of this paper is preserved in the Ehrenfest archive.
  2. Gerard 't Hooft, Introduction to General Relativity, ISBN 978-1589490000, ISBN 1589490002