В категорииДля [[алгебраическая система|алгебраических систем]] проективный предел определяется следующим образом. Пусть <math>I</math> — [[направленное множество]] <math>\leqslant</math> (например, множество [[целое число|целых чисел]]), и пусть каждому элементу <math>i\in I</math> сопоставлена алгебраическая система <math>X_i</math> из какого-либо фиксированного класса (всенапример, системы —[[Абелева сгруппа|абелевых общейгрупп]], [[СигнатураМодуль (математическаянад логика)кольцом|сигнатуроймодулей над заданным кольцом]]), а каждой паре <math>(i,\;j)</math>, такой что <math>i,\;j\in I</math>, <math>i\leqslant j</math>, сопоставлен [[гомоморфизм]] <math>f_{ij}:X_j\to X_i</math>, причём <math>f_{ii}</math> — [[тождественное отображение|тождественные отображения]] для любого <math>i\in I</math> и <math>f_{ik}= f_{ij}\circ f_{jk}</math> для любых <math>i\leqslant j\leqslant k</math> из <math>I</math>. Тогда множество-носитель проективного предела направленного семейства — это [[фактормножество]] <math>X</math> [[прямое произведение множеств|прямого произведения]] <math>X_i</math> по [[транзитивное замыкание|транзитивному замыканию]] отношения эквивалентности, говорящего, что каждый элемент эквивалентен «меньшим» элементам:
Существуют ''канонические проекции'' <math>\pi_i:X \to X_i</math>, выбирающие <math>i</math>-ю компонетнукомпоненту прямого произведения для каждого <math>i \in I</math>. Эти проекции должны являться гомоморфизмами, исходя из этого можно восстановить добавленную алгебраическую структуру на проективном пределе.
