Единичная окружность: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки |
м откат правок 178.47.252.112 (обс) к версии De Riban5 |
||
Строка 1:
'''Единичная окружность''' — [[окружность]] с [[радиус]]ом 1 и центром в [[Начало координат|начале координат]]. Понятие единичной окружности обобщается до [[N-мерное евклидово пространство|<math>n</math>-мерного пространства]] (<math>n>2</math>), в таком случае говорят о «[[единичная сфера|единичной сфере]]».
Для [[прямоугольные координаты|координат]] всех точек на окружности, согласно [[теорема Пифагора|теореме Пифагора]], выполняется равенство <math>x^2 + y^2 = 1</math>.
== Тригонометрические функции ==<!-- используется для перенаправления [[Тригонометрический круг]] -->
[[Файл:Circle-trig6.svg|right|thumb|300px|Все тригонометрические функции угла ''θ'' могут быть сконструированы геометрически при помощи единичной окружности.]]
С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны [[тригонометрические функции]] (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «''тригонометрическим кругом''», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не [[круг]]).
[[Синус (функция)|Синус]] и [[косинус]] могут быть описаны следующим образом: соединив любую точку <math>(x, y)</math> на единичной окружности с началом координат <math>(0, 0)</math>, получается отрезок, находящийся под углом <math>\alpha</math> относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:
: <math>\cos\alpha = x</math>,
: <math>\sin\alpha = y</math>.
При подстановке этих значения в уравнение окружности <math>x^2 + y^2 = 1</math> получается:
: <
(Используется следующая общепринятая нотация: <math>\cos^2x = (\cos x)^2</math>.)
Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как угол отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:
: <math>\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)</math>
: <math>\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)</math>
для всех [[целое число|целых чисел]] <math>k</math>, то есть для <math>k\in \mathbb Z</math>.
== Комплексная плоскость ==
В [[комплексная плоскость|комплексной плоскости]] единичная окружность — это следующее множество <math>G \subset \mathbb{C}</math>:
: <math>G = \{z : \mathrm{Re}\{z\}^2 + \mathrm{Im}\{z\}^2 = 1 \} = \{z : z = e^{i\phi}, 0 \leq \phi < 2\pi\}</math>
Множество <math>G</math> является [[подгруппа|подгруппой]] [[Группа (математика)|группы]] [[комплексное число|комплексных чисел]] по умножению, её нейтральный элемент — это <math>e^{i0}=1</math>).
== См. также ==
* [[Единичная сфера]]
* [[Единичный квадрат]]
* [[Единичный куб]]
{{rq|source}}
| |||