Википедия

Геометрия Римана: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Нет описания правки
м орфография, пунктуация с помощью AWB
Строка 1:
{{Не путать|Риманова геометрия|Римановой геометрией}}
 
'''Геометрия [[Риман, Бернхард|Римана]]''' ('''Эллиптическая геометрия''') — одна из трёх «великих геометрий» ([[Евклидова геометрия|Евклида]], [[Геометрия Лобачевского|Лобачевского]] и Римана). Если геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой [[Гауссова кривизна|гауссовой кривизной]], Лобачевского — с постоянной отрицательной, то геометрия Римана реализуется на [[поверхность|поверхностях]] с постоянной положительной [[Гауссова кривизна|гауссовой кривизной]], т. е. на [[сфера]]х. Исторически геометрия Римана появилась позже двух других геометрий (в 1854 г.).
 
В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость — тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т. д., но через данную точку нельзя провести к прямой ни одной параллельной. В геометрии Римана, как и в сферической геометрии, справедливо утверждение: сумма углов треугольника больше двух прямых, имеет место формула
<math>\,\Sigma = \pi + {S}/{R^2},</math>
где <math>\,\Sigma</math> — сумма углов треугольника, <math>\,R</math> — радиус сферы, на которой реализована геометрия.
Строка 10:
 
Геометрия Римана похожа на [[Сферическая геометрия|сферическую геометрию]], но отличается тем, что любые две «прямые» имеют не две, как в сферической, а только одну точку пересечения. Поэтому иногда геометрией Римана называют геометрию на сфере, в которой противоположные точки отождествлены; таким образом из сферы получается [[проективная плоскость]].
Именно, рассмотрим сферу <math>\,S</math> с центром в точке <math>\,O</math> в трехмерномтрёхмерном пространстве <math>\,E</math>. Каждая точка <math>A \in S</math> вместе с центром сферы <math>\,O</math> определяет некоторую прямую <math>l \subset E</math>, т. е. некоторую точку <math>\,A_*</math> проективной плоскости <math>\,\Pi</math>. Сопоставление <math>A \to A_*</math> определяет отображение <math>S \to \Pi</math>, большие круги на <math>\,S</math> (прямые в сферической геометрии) переходят в прямые на проективной плоскости <math>\,\Pi</math>, при этом в одну точку <math>A_*\in \Pi</math> переходят ровно две точки сферы: вместе с точкой <math>A \in S</math> и диаметрально противоположная ей точка <math>A' \in S</math> (см. рисунок).
Евклидовы движения пространства <math>\,E</math>, переводящие сферу <math>\,S</math> в себя, задают некоторые определенные преобразования проективной плоскости <math>\,\Pi</math>, которые являются ''движениями'' геометрии Римана.
В геометрии Римана любые прямые пересекаются, поскольку это верно для проективной плоскости, и таким образом, в ней нет параллельных прямых.
 
Геометрия Римана не является [[абсолютная геометрия|абсолютной геометрией]]. В частности, в ней нет естественного понятия «точка ''C'' лежит между точками ''A'' и ''B''», которое используется в аксиоматике абсолютной геометрии. Действительно, на прямую проективной плоскости <math>\,\Pi</math> отображается большой круг на сфере <math>\,S</math>, причемпричём две диаметрально противоположные точки сферы <math>\,A</math> и <math>\,A'</math>
переходят в одну точку <math>A_* \in \Pi</math>. Аналогично, точки <math>\,B, B'</math> переходят в одну точку <math>B_* \in \Pi</math> и точки <math>\,C, C'</math> переходят в одну точку <math>C_* \in \Pi</math>.
Таким образом, с равным основанием можно считать, что точка <math>\,C_*</math> ''лежит между'' <math>\,A_*</math> и <math>\,B_*</math> и что она ''не лежит между'' ними (см. рисунок).
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Геометрия_Римана