Полупрямое произведение: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки |
мНет описания правки |
||
Строка 15:
'''Обоснование.'''
* Ассоциативность операции проверяется непосредственно. Используются соотношения
::<math>\phi_{h_1}
* Единицей группы ''G'' служит элемент <math>\,(1_N,1_H)</math>, где <math>1_N</math> и <math>1_H</math> - единицы в группах ''N'' и ''H'' соответственно. <br> (Используется равенство <math>\phi_{1_H}(n) = n</math>.)
* Элемент, обратный к <math>\,(n,h)</math>, равен <math>(\,\phi_h^{-1}(n^{-1}),h^{-1})</math>. <br>(Для доказательства, что этот элемент обратен слева, используется равенство <math>\phi_h^{-1}(n^{-1}) = \phi_{h^{-1}}(n)^{-1}</math>.)
Строка 22:
* Равенство <math>\,(n,h) = (n,1)*(1,h)</math> даёт разложение произвольного элемента группы ''G'' в произведение элементов ''n'' и ''h'' из групп ''N'' и ''H'' соответственно. Из этого же равенства следует и единственность разложения.
* Равенство <math>(\phi_h(n),1) = (1,h)(n,1)(1,h)^{-1}</math> показывает, что действие группы ''H'' на ''N'', задаваемое гоморфизмом <math>\phi</math> совпадает с действием ''H'' на ''N'' сопряжениями.
* Чтобы доказать универсальное свойство полупрямого произведения, надо воспользоваться формулой <math>(n_1h_1)\cdot (n_2h_2) = n_1(h_1n_2h_1^{-1})\cdot (h_1h_2)</math>. <br> Из неё следует, что произведение в группе ''G'' с однозначным NH-разложением (при условии
[[Категория:Теория групп]]
| |||