Полупрямое произведение

Полупрямое произведение — конструкция в теории групп, позволяющая строить новую группу по двум группам и , и действию группы на группе автоморфизмами.

Полупрямое произведение групп и над обычно обозначается .

КонструкцияПравить

Пусть задано действие группы   на пространстве группы   с сохранением её групповой структуры. Это означает, что задан гомоморфизм   группы   в группу автоморфизмов группы  . Автоморфизм группы  , соответствующий элементу   из   при гомоморфизме   обозначим  . В качестве группы   — полупрямого произведения групп   и   над гомоморфизмом   — берётся множество   c бинарной операцией  , действующей по правилу:

  для любых  ,  .

СвойстваПравить

  1. Группы   и   естественно вложены в  , причём   — нормальная подгруппа в  .
  2. Каждый элемент   однозначно разложим в произведение  , где   и   — элементы групп   и   соответственно. (Это свойство оправдывает название группы   как полупрямого произведения групп   и  .)
  3. Заданное действие   группы   на группе   совпадает с действием   на   сопряжениями (в группе  ).

Всякая группа со свойствами 1—3 изоморфна группе   (свойство универсальности полупрямого произведения групп).

ПримерПравить

Группа вычетов по модулю 4 ( ) действует на   (рассматриваемой как аддитивная группа соответствующего кольца) четырьмя разными способами:

 , где   — фиксированный ненулевой элемент  ,  ,  .

Соответственно, на множестве   можно ввести 4 структуры группы — полупрямого произведения:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Можно показать, что последние две группы изоморфны, а остальные — нет, а также, что эти примеры перечисляют все группы порядка 20, содержащие элемент порядка 4 (при этом используются теоремы Силова).

Подобным образом полупрямое произведение групп используется вообще для классификации конечных групп.

ЛитератураПравить

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.