В теории групп теоремы Си́лова представляют собой неполный вариант обратной теоремы к теореме Лагранжа и для некоторых делителей порядка группы G гарантируют существование подгрупп такого порядка. Теоремы доказаны норвежским математиком Петером-Людвигом Силовом в 1872 г.

Определения

править

Пусть   — конечная группа, а   — простое число, которое делит порядок  . Подгруппы порядка   называются  -подгруппами.

Выделим из порядка группы   максимальную степень  , то есть  , где   не делится на  . Тогда силовской  -подгруппой называется подгруппа  , имеющая порядок  .

Теоремы

править

Пусть   — конечная группа. Тогда:

  1. Силовская  -подгруппа существует.
  2. Всякая  -подгруппа содержится в некоторой силовской  -подгруппе. Все силовские  -подгруппы сопряжены (то есть каждая представляется в виде  , где   — элемент группы, а   — силовская подгруппа из теоремы 1).
  3. Количество силовских  -подгрупп   сравнимо с единицей по модулю   ( ) и делит  , где   и  .

Следствие

править

Если все делители  , кроме 1, после деления на   дают остаток, отличный от единицы, то в   есть единственная силовская  -подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).

Например: Докажем, что группа порядка 350 не может быть простой.  , значит, силовская 5-подгруппа имеет порядок 25.   должно делить 14 и сравнимо с 1 по модулю 5. Этим условиям удовлетворяет только единица. Значит, в   одна силовская 5-подгруппа, а значит, она нормальна, и поэтому   не может быть простой.

Доказательства

править

Пусть   — примарный по   делитель порядка  .

1. Докажем теорему индукцией по порядку  . При   теорема верна. Пусть теперь  . Пусть   — центр группы  . Возможны два случая:

а)   делит  . Тогда в центре существует циклическая группа   (как элемент примарного разложения центра), которая нормальна в  . Факторгруппа   по этой циклической группе имеет меньший порядок, чем  , значит, по предположению индукции, в ней существует силовская  -подгруппа. Рассмотрим её прообраз в  . Он и будет нужной нам силовской  -подгруппой  .

б)   не делит  . Тогда рассмотрим разбиение   на классы сопряжённости:   (поскольку если элемент лежит в центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок   делится на  , значит, должен найтись класс  , порядок которого не делится на  . Соответствующий ему централизатор   имеет порядок  ,  . Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская  -подгруппа — она и будет искомой.

2. Пусть   — произвольная  -подгруппа  . Рассмотрим её действие на множестве левых классов смежности   левыми сдвигами, где   — силовская  -подгруппа. Число элементов любой нетривиальной орбиты должно делиться на  . Но   не делится на  , значит, у действия есть неподвижная точка  . Получаем  , а значит,  , то есть   лежит целиком в некоторой силовской  -подгруппе.

Если при этом   — силовская  -подгруппа, то она сопряжена с  .

3. Количество силовских p-подгрупп есть [G:NG(P)], значит, оно делит |G|. По теореме 2, множество всех силовских p-подгрупп есть X = {gPg-1}. Рассмотрим действие P на X сопряжениями. Пусть при этом действии H из X — неподвижная точка. Тогда P и H принадлежат нормализатору подгруппы H и при этом сопряжены в NG(H) как его силовские p-подгруппы. Но H нормальна в своём нормализаторе, значит, H = P и единственная неподвижная точка действия — это P. Поскольку порядки всех нетривиальных орбит кратны p, получаем  .

Нахождение силовской подгруппы

править

Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).

Литература

править