Гипербола Киперта: различия между версиями

[[Файл:KiepertHyperbola.svg|300px|thumb|Гипербола Киперта треугольника ABC. Гипербола Киперта проходит через вершины (A,B,C), ортоцентр (O) и центроид (G) треугольника.]]

=== Определение через изогональное сопряжение ===

'''Гипербола Киперта'''  — кривая, изогонально сопряжённая прямой проходящей через [[точка Лемуана|точку Лемуана]] и [[Описанная окружность|центр описанной окружности]] данного треугольника.

* Прямая, проходящая через центр [[описанная окружность|описанной окружности]] и [[точка Лемуана|точку Лемуана]], называется '''осью Брокара'''. На ней лежат [[точки Аполлония]]. То есть '''Гипербола Киперта'''  — кривая, изогонально сопряжённая ''оси Брокара'' данного треугольника.

=== Определение через треугольники в трилинейных координатах ===

'''Определение через треугольники в трилинейных координатах''' {{sfn|Eddy|1994|с=188–205}}:

=== Трилинейные координаты произвольной точки N, лежащей на '''гиперболе Киперта''' ===

=== Уравнение гиперболы Киперта в трилинейных координатах ===

где <math>x, y, z</math> - — ''трилинейные координаты'' точки N в треугольнике.

=== Известные точки, лежащие на '''гиперболе Киперта''' ==
<ref>{{Книга:Акопян-Заславский|2011|125—126}}</ref> ===

| π /2 (или,  — π /2) || O, [[ортоцентр]] треугольника ABC(X4)

| - A (если A < π /2) <br /> π  — A (если A > π /2) || Вершина A

| - B (если B < π /2) <br /> π  — B (если B > π /2) || Вершина B

| - C (если C < π /2) <br /> π  — C (если C > π /2) || Вершина C

=== Перечень точек, лежащих на '''гиперболе Киперта''' <ref>{{Kiepert Hyperbola (Гипербола Киперта, англ. яз.) // http://mathworld.wolfram.com/KiepertHyperbola.html}}</ref>===

Гипербола Киперта проходит через следующие [[Энциклопедия центров треугольника|Центрыцентры Кимберлинга (Kimberling centers)треугольника]] X(i)<ref>{{MathWorld3|Kiepert Hyperbola}}</ref>:

1)* для for i=2, ([[Центроид треугольника]]),

2)* i=4 ([[Ортоцентр]]),

3)* i=10 ([[Центр Шпикера]]; т.е.то есть, инцентр треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника ABC; Eddy and Fritsch 1994{{sfn|<ref>Eddy, R. H. and Fritsch, R. "«The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle."» Math. Mag. 67, 188-205188—205, 1994}}</ref>),

4-5)* i=13 (первая [[точка Ферма]]), i=14 (вторая [[точка Ферма]]),

6-7)* i=17 ([[Точки Наполеона|первая точка Наполеона]]), i=18 ([[Точки Наполеона|вторая точка Наполеона]]),

8)* i=76 (третья [[Точки Брокара|точка Брокара]]),

9)* i=83 (точка, изогонально сопряженная серединной точке между точками Брокара; Eddy and Fritsch 1994),

10-11)* i=94, 96,

12)* i=98 (Точка Тарри=Tarry point),

13-16)* i=226, 262, 275, 321,

17-18)* i=485 ([[Точки Вектена|Внешняя точка Вектена]]), i=486 ([[Точки Вектена|Внутренняя точка Вектена]]),

19-24)* i=598, 671, 801, 1029, 1131, 1132,

25-26)* i=1139 (внутренняя точка пятиугольника=inner pentagon point), i=1140 (внешняя точка пятиугольника=outer pentagon point),

27-40)* i=1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593,

41)* i=2671 (первая точка золотого арбелоса=first golden arbelos point),

42)* i=2672 (вторая точка золотого арбелоса=second golden arbelos point),

43-44)* i=2986, 2996

=== Обобщение [[Окружность Лестера|теоремы Лестера]] в виде теоремы Б. Гиберта (2000) ===

Теорема Б. Гиберта (2000) обобщает теорему об [[Окружность Лестера|окружности Лестера]], а именно: любая окружность, [[диаметр]] которой является хордой [[Гипербола Киперта|гиперболы Киперта]] треугольника и [[Перпендикулярность|перпендикулярен]] его [[Прямая Эйлера|прямой Эйлера]], проходит через [[Точка Ферма|точки Ферма]]<ref>B. Gibert (2000): ''[ Message 1270]''. Entry in the Hyacinthos online forum, 2000-08-22. Accessed on 2014-10-09.</ref><ref>Paul Yiu (2010), ''[http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201020.pdf The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations]''. Forum Geometricorum, volume 10, pages 175—209. {{MR|2868943}}</ref>.

=== История ===

Эта [[Гипербола (математика)|гипербола]] называется '''гиперболой Киперта''' (в честь немецкого математика [[Фридрих Вильгельм Август Людвиг Киперт|Фридриха Вильгельма Августа Людвига Киперта]] (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert{{sfn|Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert (Фридрих Вильгельм Август Людвиг Киперт, англ. яз.)// https://en.wikipedia.org/wiki/Friedrich_Wilhelm_August_Ludwig_Kiepert}}), 1846—1934, открывшего её {{sfn|Eddy|1994|с=188–205}}).