Точка Брокара: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Bezik (обсуждение | вклад) Отклонены последние 2 изменения (78.132.137.69): достаточно того, что есть в преамбуле (см. также ПРО:См. также) |
Добавлено: Неравенство Йиффа |
||
Строка 7:
В треугольнике <math>\triangle ABC</math> со сторонами <math>a</math>, <math>b</math>, и <math>c</math>, противолежащими вершинам <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> соответственно, имеется всего одна точка <math>P</math> такая, что отрезки прямых <math>AP</math>, <math>BP</math> и <math>CP</math> образуют один и тот же угол <math>\omega</math> со сторонами <math>c</math>, <math>a</math> и <math>b</math> соответственно: <math>\angle PAB = \angle PBC = \angle PCA</math>. Точка <math>P</math> называется ''первой точкой Брокара'' треугольника <math>\triangle ABC</math>, а угол <math>\omega</math> — '''''углом Брокара''''' треугольника.
Для угла Брокара <math>\omega</math> выполняется следующее тождество: <math>\mathrm{ctg}\, \omega = \mathrm{ctg}\, \angle BAC + \mathrm{ctg}\, \angle ABC + \mathrm{ctg}\, \angle ACB</math>.
Для угла Брокара <math>\omega</math> выполняется следующее [[Неравенство Йиффа]]:
<math>8\omega^3\le\alpha\beta\gamma</math>, где <math>\alpha,\beta,\gamma</math> — углы искомого треугольника.
В треугольнике <math>\triangle ABC</math> имеется также ''вторая точка Брокара'' <math>Q</math>, такая, что отрезки прямых <math>AQ</math>, <math>BQ</math> и <math>CQ</math> образуют один и тот же угол со сторонами <math>b</math>, <math>c</math> и <math>a</math> соответственно: <math>\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC</math>. Вторая точка Брокара [[Изогональное сопряжение|изогонально сопряжена]] с первой точкой Брокара, то есть угол <math>\angle PBC = \angle PCA = \angle PAB</math> равен углу <math>\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC</math>.
| |||