|
'''Поле Якоби''' — [[векторное поле]] вдоль [[Геодезическая|геодезической]] <math>\gamma</math> в [[Риманово многообразие|Римановом многообразии]],
описывающие разницу между этой геодезической и "«бесконечно близкой"» ей геодезической.
Иными словами, поля Якоби вдоль геодезической образуют касательное пространство к геодезической в пространстве всех геодезических.
Названы в честь [[Якоби, Карл Густав Якоб|Карла Густава Якоба Якоби]].
== Определение ==
Пусть <math>\gamma_\tau</math> есть гладкое одно-параметрическоеоднопараметрическое семейство геодезических с <math>\gamma_0=\gamma</math>, тогда поле
: <math>J(t)=\left.\frac{\partial\gamma_\tau(t)}{\partial \tau}\right|_{\tau=0}</math>
называется полем Якоби.
* Поле Якоби ''J'' удовлетворяет ''уравнению Якоби'':
*: <math>\frac{D^2}{dt^2}J(t)+R(J(t),\dot\gamma(t))\dot\gamma(t)=0,</math>
:где ''D'' обозначает [[Ковариантная производная|ковариантныековариантную производныепроизводную]] по отношению к [[Связность Леви-Чивиты|связности Леви-Чивита]], ''R'' на— [[тензор кривизны]], и <math>\dot\gamma(t)=d\gamma(t)/dt</math> — касательный вектор к <math>\gamma</math>.
* На [[Полное метрическое пространство|полных]] Римановыхримановых многообразиях, любое поле, удовлетворяющее уравнению Якоби, является полем Якоби, то есть для него существует семейство геодезических <math>\gamma_\tau</math>, каксвязанное с этим полем в определениисоответствии с определением.
* Уравнение Якоби это— [[Линейное дифференциальное уравнение|линейное]] [[Обыкновенное дифференциальное уравнение|обыкновенное]] [[дифференциальное уравнение]] второго порядка.
** В частности, <math>J</math> и <math>\frac{D}{dt}J</math> в какой-толибо точке <math>\gamma</math> однозначно определяют поле Якоби.
** Кроме того, в набор полей Якоби вдоль геодезическихгеодезической заданнойсоставляет формы вещественноговещественное [[Векторноевекторное пространство|векторного пространства]], размерностиразмерность двакоторого разаравна размерностьудвоенной размерности многообразия.
* Любое поле Якоби <math>J</math> можно представить единственным образом в виде суммы <math>T+I</math>, где <math>T=a\dot\gamma(t)+bt\dot\gamma(t)</math> является линейной комбинацией тривиальных полей Якоби, и <math>I(t)</math> является ортогональнойортогонально <math>\dot\gamma(t)</math>, дляпри всех <math>t</math>.
** При этом поле <math>I</math> соответствует тому же семейству геодезических, только с измененнымизмененной параметризациипараметризацией.
== Пример ==
На [[Сфера|сфере]], [[Геодезическая|геодезическими]] через Северный полюс являются [[Большой круг|большие окружности]]. Рассмотрим двадве такихтакие геодезические <math>\gamma_0</math> и <math>\gamma_\tau</math> с естественной параметризацией <math>t\in [0,\pi]</math>, разделенные углом <math>\tau</math>. ГеодезическаяГеодезическое расстояние <math>d(\gamma_0(t),\gamma_\tau(t)) \,</math> равно
: <math>d(\gamma_0(t),\gamma_\tau(t))=\operatorname{arcsin}\bigg(\sin t\sin\tau\sqrt{1+\cos^2 t\operatorname{tg}^2(\tau/2)}\,bigg).</math>
Чтобы получить это выражение, нужно знать геодезические. Наиболее интересный результат таков:
это
: <math>d(\gamma_0(t\pi),\gamma_\tau(t\pi))=\sin^{-1}\bigg(\sin0 t\sin\tau\sqrt{1+\cos^2,</math> t\tan^2(для любого <math>\tau/2)}\bigg).</math>.
Вместо этого , мы можем считатьрассмотреть [[Производная функции| производнымипроизводные]] по отношению к <math>\tau</math> впри <math>\tau=0</math>: ▼Вычисляя для этого требуется знание геодезии. Наиболее интересная информация-это просто
: <math>d(\gamma_0(\pi),\gamma_\tau(\pi))=0 \,</math>, для любого <math>\tau</math>.
▲Вместо этого, мы можем считать [[Производная функции|производными]] по отношению к <math>\tau</math> в <math>\tau=0</math>:
: <math>\frac{\partial}{\partial\tau}\bigg|_{\tau=0}d(\gamma_0(t),\gamma_\tau(t))=|J(t)|=\sin t.</math>
ОбратитеМы внимание,вновь чтополучаем мыпересечение по-прежнемугеодезических обнаружить [[Пересечение множеств|пересечения]] в геодезии напри <math>t=\pi</math>. ЗаметьтеЗаметим, далееоднако, что для вычисления этой производной на самом деле не нужно знать <math>d(\gamma_0(t),\gamma_\tau(t)) \,</math>;
вернее, все, что нам нужно сделать, это решить уравнение ▼: <math>d(\gamma_0(t),\gamma_\tau(t)) \,</math>,
▲вернее, все, что нам нужно сделать, это решить уравнение
: <math>y''+y=0 \,</math>,
для некоторых заданных начальных данныхусловий.
Поля Якоби дают естественное обобщение этого явления вдля произвольных [[Риманово многообразие|Римановыхримановых многообразияхмногообразий]].
== Решение уравнения Якоби ==
Пусть <math>e_1(0)=\dot\gamma(0)/|\dot\gamma(0)|</math>,; продолжимдобавим этотк списокэтому вектору другие, чтобы получитьполучился [[Ортонормированная система|ортонормированный]] базис <math>\big\{e_i(0)\big\}</math> в <math>T_{\gamma(0)}M</math>. Переместим его [[Параллельное перенесение|Параллельныйпараллельным переноспереносом]], ичтобы егополучить основебазис <math>\{e_i(t)\}</math> всев любой вместеточке <math>\gamma</math>.
Это даёт ортонормированный базис с <math>e_1(t)=\dot\gamma(t)/|\dot\gamma(t)|</math>.
В полеПоле Якоби можно записать в координатах, всвязанных терминахс этойэтим основе,базисом: <math>J(t)=y^k(t)e_k(t)</math>, и таким образомоткуда:
: <math>\frac{D}{dt}J=\sum_k\frac{dy^k}{dt}e_k(t),\quad\frac{D^2}{dt^2}J=\sum_k\frac{d^2y^k}{dt^2}e_k(t),</math>
и уравнение Якоби можно переписать в виде системы
: <math>\frac{d^2y^k}{dt^2}+|\dot\gamma|^2\sum_j y^j(t)\langle R(e_j(t),e_1(t))e_1(t),e_k(t)\rangle=0</math>
для каждого <math>k</math>. Таким образом мы получим линейные обыкновенные дифференциальные уравнения.
Поскольку уравнение имеет [[Гладкая функция|гладкие]] [[Коэффициент|коэффициенты]], мы имеем, что решения существуют для всех <math>t</math> и являются единственными, учитывая,если что заданы <math>y^k(0)</math> и <math>\frac{ydy^k}'{dt}(0)</math>, для всех <math>k</math>.
== Примеры ==
Рассмотрим геодезическую <math>\gamma(t)</math> параллель с параллельным ортонормированным репреромрепером <math>e_i(t)</math>, <math>e_1(t)=\dot\gamma(t)/|\dot\gamma|</math>, построенныйпостроенным, как описано выше.
* ВекторногоВекторные поля вдоль <math>\gamma</math>, заданнойзаданные <math>\dot \gamma(t)</math> и <math>t\dot \gamma(t)</math>, являются полями Якоби.
* В Евклидовомевклидовом пространстве (а также для пространств постоянной нулевой секционной кривизны) поля Якоби простоэто эти— это те поля, что линейны линейнопо <math>t</math>.
* Для Римановыхримановых многообразий постоянной отрицательной секционной кривизны <math>-k^2</math>, любое поле Якоби является линейной комбинацией <math>\dot\gamma(t)</math>, <math>t\dot\gamma(t)</math> и <math>\exp(\pm kt)e_i(t)</math>, где <math>i>1</math>.
* Для Римановыхримановых многообразий постоянной положительной секционной кривизны <math>k^2</math>, любое поле Якоби является линейной комбинацией <math>\dot\gamma(t)</math>, <math>t\dot\gamma(t)</math>, <math>\sin(kt)e_i(t)</math> и <math>\cos(kt)e_i(t)</math>, где <math>i>1</math>.
* Сужение [[Поле Киллинга|поля КилингаКиллинга]] на геодезическую является полем Якоби в любом Римановомримановом многообразии.
* Поля Якоби соответствуют геодезическим на [[Касательное расслоение|касательном расслоении]] (по отношению к метрике <math>TM</math> , индуцированной метрикой" на <math>M</math>).
== См. также ==
* [[Сопряжённые точки]]
* [[Теорема сравнения Рауха]]
* [[Уравнение Риккати]]
| 