Гиперсфера: различия между версиями

10 байт убрано ,  4 года назад
м
Удаление принудительных пробелов в формулах по ВП:РДБ.
(→‎Площадь и объём: оформление)
м (Удаление принудительных пробелов в формулах по ВП:РДБ.)
 
== Уравнения ==
 
Гиперсфера радиуса <math>R</math> с центром в точке <math>a = \left\{a_1, a_2, \dots a_n\right\}</math> задаётся как [[геометрическое место точек]], удовлетворяющих условию:
: <math>(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 + \cdots + (x_n - a_n)^2 = R^2</math>
[[Файл:Sphere area in n dimensions.svg|thumb|right|350px|[[Площадь поверхности]] гиперсферы размерности x единичного радиуса в зависимости от x.]]
[[Файл:Ball volume in n dimensions.svg|thumb|right|350px|Объем гипершара размерности x единичного радиуса в зависимости от x.]]
Площадь поверхности <math>~S_{n}</math> гиперсферы размерности <math>~n</math> и объём <math>~V_n</math>, ограниченный ею (объём [[Шар (стереометрия)|шара]]), можно рассчитать по формулам<ref>Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — {{М}}: Наука, 1977, — т. 5, с. 287, статья «Сфера» — формула объёма n-мерной сферы</ref><ref>Л. А. Максимов, А. В. Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объёма n-мерной сферы через [[Гауссов интеграл|интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса]]</ref>:
: <math>~ S_{n} = n C_n R^{n-1}</math>
: <math> V_n = C_n R^n \ </math>
 
: <math>C_n = \frac{ \pi^{n/2} }{\Gamma({n\over 2}+1)}</math>
 
а <math>~\Gamma(x)</math> — [[гамма-функция]]. Этому выражению можно придать другой вид:
: <math>C_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}</math>
: <math>C_{2k+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{(2k+1)!!}</math>
 
Здесь <math>~n!!</math> — [[двойной факториал]].
 
Так как
: <math>~V_n / S_{n-1} = R / n</math>
: <math>~S_{n+1}/V_n = 2\pi R</math>
 
то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению
300 072

правки