Компактное пространство: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Tosha (обсуждение | вклад) |
Mx1024 (обсуждение | вклад) сразу после определения |
||
Строка 9:
== Определение ==
Компактное пространство — [[топологическое пространство]], в любом [[покрытие (математика)|покрытии]] которого [[открытое множество|открытыми множествами]] найдётся конечное [[подпокрытие]].
== Примеры компактных множеств ==▼
* Замкнутые и ограниченные множества в <math>\mathbb{R}^n</math>.▼
* Конечные подмножества топологических пространств.▼
* [[Теорема Асколи — Арцела]] даёт характеризацию компактных множеств для некоторых функциональных пространств. Рассмотрим пространство <math>C(X)</math> вещественных функций на метрическом компактном пространстве <math>X</math> с нормой <math>\|f\|=\sup_x |f(x)|</math>. Тогда замыкание множества функций <math>F</math> в <math>C(X)</math> компактно тогда и только тогда, когда <math>F</math> [[равномерная ограниченность|равномерно ограничено]] и [[равностепенная непрерывность|равностепенно непрерывно]].▼
* [[Пространство Стоуна]] булевых алгебр.▼
* [[Компактификация]] топологического пространства.▼
== Связанные определения ==
Строка 47 ⟶ 54 :
** Для [[топологическая размерность|конечномерных]] [[евклидово пространство|евклидовых пространств]] подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно [[ограниченное множество|ограничено]] и [[замкнутое множество|замкнуто]]. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют '''свойству Гейне — Бореля'''<ref>См. также [[Теорема Больцано — Вейерштрасса#Теорема Больцано — Вейерштрасса и понятие компактности]]</ref>.
** [[Лемма Лебега]]: для любого компактного [[Метрическое пространство|метрического пространства]] и открытого покрытия <math>\{V_\alpha\},\ \alpha\in A</math> существует положительное число <math>r</math> такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше <math>r</math>, содержится в одном из множеств <math>V_\alpha</math>. Такое число <math>r</math> называется числом Лебега.
▲== Примеры компактных множеств ==
▲* Замкнутые и ограниченные множества в <math>\mathbb{R}^n</math>.
▲* Конечные подмножества топологических пространств.
▲* [[Теорема Асколи — Арцела]] даёт характеризацию компактных множеств для некоторых функциональных пространств. Рассмотрим пространство <math>C(X)</math> вещественных функций на метрическом компактном пространстве <math>X</math> с нормой <math>\|f\|=\sup_x |f(x)|</math>. Тогда замыкание множества функций <math>F</math> в <math>C(X)</math> компактно тогда и только тогда, когда <math>F</math> [[равномерная ограниченность|равномерно ограничено]] и [[равностепенная непрерывность|равностепенно непрерывно]].
▲* [[Пространство Стоуна]] булевых алгебр.
▲* [[Компактификация]] топологического пространства.
== Примечания ==
| |||