Радикал идеала: различия между версиями

В [[коммутативная алгебра|коммутативной алгебре]], '''радикал идеала''' ''I'' — это [[идеал (математика)|идеал]], образованный всеми элементами ''x'', такими, что некоторая степень ''x'' принадлежит ''I''. '''Радикальный идеал''' — это идеал, совпадающий со своим собственным радикалом.

* В кольце целых чисел радикал [[главный идеал|главного идеала]] <math>(a)</math> — это идеал, порожденныйпорождённый произведением всех простых делителей <math>a</math>.

* В любом коммутативном кольце <math>\sqrt{P^n} = P</math> для простого идеала <math>P</math>.<ref>{{harvnbsfn|Атья- и Макдональд|2003|loc=Предложение 4.2}}</ref>. В частности, каждый простой идеал радикален.

Основная мотивация для изучения радикалов — это их появление в знаменитой [[теорема Гильберта о нулях|теореме Гильберта о нулях]] из [[коммутативная алгебра|коммутативной алгебры]]. Наиболее простая формулировка этой теоремы имеет следующий вид: для любого [[алгебраически замкнутое поле|алгебраически замкнутого поля]] <math>k</math> и любого [[конечнопорожденный идеал|конечнопорожденногоконечнопорождённого идеала]] в кольце многочленов от <math>n</math> переменных над полем <math>k</math> верно следующее равенство: