Радикал идеала: различия между версиями

249 байт добавлено ,  4 года назад
исправление неработающей ссылки на источник, пунктуация
м (+шаблон: некорректные викиссылки в сносках)
(исправление неработающей ссылки на источник, пунктуация)
В [[коммутативная алгебра|коммутативной алгебре]], '''радикал идеала''' ''I'' — это [[идеал (математика)|идеал]], образованный всеми элементами ''x'', такими, что некоторая степень ''x'' принадлежит ''I''. '''Радикальный идеал''' — это идеал, совпадающий со своим собственным радикалом.
 
== Определение ==
 
== Примеры ==
* В кольце целых чисел радикал [[главный идеал|главного идеала]] <math>(a)</math> — это идеал, порожденныйпорождённый произведением всех простых делителей <math>a</math>.
* Радикал [[примарный идеал|примарного идеала]] [[простой идеал|прост]]. Обратно, если радикал идеала прост, то этот идеал примарен.
* В любом коммутативном кольце <math>\sqrt{P^n} = P</math> для простого идеала <math>P</math>.<ref>{{harvnbsfn|Атья- и Макдональд|2003|loc=Предложение 4.2}}</ref>. В частности, каждый простой идеал радикален.
 
== Свойства ==
 
== Приложения ==
Основная мотивация для изучения радикалов — это их появление в знаменитой [[теорема Гильберта о нулях|теореме Гильберта о нулях]] из [[коммутативная алгебра|коммутативной алгебры]]. Наиболее простая формулировка этой теоремы имеет следующий вид: для любого [[алгебраически замкнутое поле|алгебраически замкнутого поля]] <math>k</math> и любого [[конечнопорожденный идеал|конечнопорожденногоконечнопорождённого идеала]] в кольце многочленов от <math>n</math> переменных над полем <math>k</math> верно следующее равенство:
: <math>\operatorname{I}(\operatorname{V}(J)) = \sqrt J,</math>
где
== Примечания ==
{{примечания}}
 
* ''Атья М., Макдональд И.'' Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
== Литература ==
* ''Eisenbud, David'', Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, — ISBN 0-387-94268-8.
* ''{{книга|автор=[[Атья, Майкл Фрэнсис|Атья М.]], [[:en:Ian G. Macdonald|Макдональд И.'' ]] |заглавие=Введение в коммутативную алгебру|место=М. — |издательство=Факториал Пресс, |год=2003 — ISBN |страниц=|isbn=5-88688-067-4.|ref=Атья и Макдональд}}
{{Нет полных библиографических описаний}}
* {{книга|автор=Eisenbud, David. |заглавие=Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry|место=|издательство=Springer-Verlag|год=1995|allpages=|серия=Graduate Texts in Mathematics, vol. 150|isbn=0-387-94268-8|ref=Eisenbud}}
 
[[Категория:Коммутативная алгебра]]