Касательное пространство: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
м откат правок 109.248.77.90 (обс) к версии Danneks |
→Алгебраическое касательное пространство: Пунктуация. |
||
Строка 78:
Обозначим через <math>\mathfrak{m}_x</math> [[ядро (алгебра)|ядро]] гомоморфизма колец <math>[f]_x \mapsto f(x)</math>.
Введем на <math>C^k_x</math> структуру вещественной [[алгебра над кольцом|алгебры]] с помощью [[инъекция (математика)|инъективного]] гомоморфизма <math>i: \mathbb{R} \to C^k_x</math>, <math>i(a) = [\mathrm{const}_a]_x</math> и будем далее отождествлять <math>\mathbb{R}</math> и <math>i(\mathbb{R})</math>.
Имеет место равенство <math>C^k_x = \mathbb{R} \oplus \mathfrak{m}_k</math>
обозначим <math>C^k_{x,d} = \mathbb{R} \oplus \mathfrak{m}_x^2</math>.
Заметим, что <math>C^k_{x,d} \subset C^k_{x,0}</math>.
Рассмотрим два векторных пространства:
* <math>T_x M := (C^k_x / C^k_{x,0})^*</math> — это пространство имеет размерность <math>\operatorname{dim}M</math> и совпадает с
* <math>(C^k_x / C^k_{x,d})^* \cong (\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2)^*</math> — это пространство изоморфно пространству [[дифференцирование (алгебра)|дифференцирований]] <math>C^k_x = \mathbb{R} \oplus \mathfrak{m}_x</math> со значениями в <math>\mathbb{R} \subset C^k_x</math>, его называют ''алгебраическим касательным пространством''<ref>''Laird E. Taylor'', The Tangent Space to a <math>C^k</math> Manifold, Bulletin of AMS, vol. 79, no. 4, July 1973.</ref> <math>M</math> в точке <math>x</math>.
Если <math>k < \infty</math>, то <math>\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2</math> имеет размерность [[континуум (теория множеств)|континуум]], а <math>(\mathfrak{m}_x / \mathfrak{m}_x^2)^*</math> содержит <math>T_x M</math> как нетривиальное подпространство;
в случае <math>k = \infty</math> или <math>k = \omega</math> эти пространства совпадают (и <math>C^k_{x,0} = C^k_{x,d}</math>)
== См. также ==
| |||