Гамма-функция: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
м откат правок 85.140.77.20 (обс.) к версии 149.62.13.21 |
|||
Строка 72:
+2\!\int\limits_0^{\,\infty} \!\frac{\,\operatorname{arctg}(x/z)\,}{e^{2\pi x}-1}\, dx\,,\qquad \operatorname{Re}{z}>0
</math>
данные [[Бине, Жак Филипп Мари|Жаком Бине]] в 1839-м году (эти формулы ещё часто называют первой и второй формулой Бине соответственно для логарифма гамма-функции)
: <math>
\ln\Gamma(z) \, = \int\limits_0^{\,\infty} \!\left[z-1-\frac{1-e^{-(z-1)x}}{1-e^{-x}} \right] \frac{e^{-x}}{x}\,dx
Строка 94:
</math>
: (см. упр. 2, 29-h, 30 в<ref name="iaroslav_06" />)
Ярослав Благушин показал, что при рациональном аргументе <math>z=k/n</math>, где <math>k</math> и <math>n</math> целые положительные числа, такие, что <math>k</math> не превосходит <math>n</math>, справедливо следующее представление:
: <math>
\ln\Gamma \biggl(\!\frac{k}{n}\!\biggr)=\frac{(n-2k)\ln2\pi}{2n} + \frac{1}{2}\left\{\ln\pi-\ln\sin\frac{\pi k}{n} \right\} + </math>
Строка 100:
\frac{1}{2\pi}\sin\frac{2\pi k}{n}\cdot\!\int\limits_0^\infty \!\!\frac{\,e^{-nx}\!\cdot\ln{x}\,}{\,\operatorname{ch}{x}-\cos\dfrac{2\pi k}{n}\,}\,dx\,,\qquad k\neq\frac{n}{2}
</math>
: (см. приложение C
Более того, и в более общих случаях интегралы, содержащие гиперболические функции с логарифмом (или арктангенсом) в подынтегральном выражении, часто сводятся к логарифмам гамма-функции и [[Полигамма-функция|её производным]], в том числе и комплексного аргумента, см. напр. упр. 4-b, 7-а и 13-b в<ref name="iaroslav_06" />.
| |||