Критическая точка (математика): различия между версиями

 

При <math>m=1</math> имеет смысл вопрос о максимуме и минимуме функции. Согласно известному утверждению математического анализа, непрерывно дифференцируемая функция <math>f</math>, определенная во всем пространстве <math>\R^n</math> или в его открытом подмножестве, может достигать локального максимума (минимума) только в критических точках, причем если точка невырождена, то матрица <math>\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\Bigr)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\Bigr),</math> <math>i,j=1,\ldots,n,</math> в ней должна быть отрицательно (положительно) [[Положительно определённая матрица|определённой]]. Последнее является также достаточным условием локального максимума (соответственно, минимума)<ref>''Зорич В. А.'' Математический анализ, том 1 — Любое издание, гл. VIII.</ref>.

 

Естественным обобщение леммы Морса для вырожденных критических точек является '''теорема Тужрона:''' в окрестности вырожденной критической точки <math>0</math> конечной [[кратность (критической точки)|кратности]] <math>\mu</math> существует система координат, в которой гладкая функция <math>f(x)</math> имеет вид многочлена <math>P_{\mu+1}(x)</math> степени <math>\mu+1</math> (в качестве <math>P_{\mu+1}(x)</math> можно взять многочлен Тейлора функции <math>f(x)</math> в точке <math>0</math> в исходных координатах)<ref>''Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М.'' Особенности дифференцируемых отображений.</ref><ref>''Самойленко А. М.'' Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63-69.</ref>.