Критическая точка (математика): различия между версиями

 

В случае ''n=m=2'' мы имеем отображение ''f'' плоскости на плоскость. Предположим, что отображение ''f'' дифференцируемо бесконечное число раз (<math>C^{\infty}</math>). В этом случае [[Общее положение|типичные]] критические точки отображения ''f'' суть те, в которых определитель матрицы Якоби равен нулю, но её ранг равен 1, и следовательно, дифференциал отображения ''f'' в таких точках имеет одномерное [[Ядро (алгебра)|ядро]] <math>\ker\,f_*</math>. Вторым условием типичности является то, что в окрестности рассматриваемой точки на плоскости-прообразе множество критических точке образует регулярную кривую ''S'', и почти во всех точках кривой ''S'' ядро <math>\ker\,f_*</math> не касается ''S'', а точки, где это не так, изолированы и в них касание имеет первый порядок. Критические точки первого типа называются ''точками складки'', а второго типа — ''точками сборки''. Складки и сборки являются единственными типами [[Особенность|особенностей]] отображений плоскости на плоскость, устойчивыми относительно малых возмущений: при малом возмущении точки складки и сборки лишь немного перемещаются вместе с деформацией кривой ''S'', но не исчезают, не вырождаются и не рассыпаются на другие особенности.

 

'''Теорема Уитни.''' Если <math>x_0</math> — точка складки или точка сборки, то её окрестности существуют локальные координаты <math>(x_1,x_2)</math> с центром в <math>x_0</math>, а в окрестности её образа <math>y_0</math> — локальные координаты <math>(y_1, y_2)</math> с центром в <math>y_0</math>, такие, что в них отображение <math>f</math> задается соотношениями