Многочлены Эрмита: различия между версиями

== Свойства ==

*Многочлен <math>H_n(x)</math> содержит члены только той же чётности, что и само число <math>n</math>:

*Многочлен <math>H_n(x)</math> чётен при чётном <math>n</math> и нечётен при нечётном <math>n</math>:

*:<math>H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),\quad H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),\quad n=0,1,2, \ldots </math>.

*При <math>x=0</math> верны такие соотношения:

*: <math>H_{2n}(0)=\dfrac{(-1)^n}{2^n}\dfrac{(2n)!}{n!}, ~~ H_{2n+1}=0, ~~~ n=0,1,2, \ldots</math>, (в вероятностном определении)

*: <math>H_{2n}(0)=\dfrac{(-1)^n (2n)!}{n!}, ~~ H_{2n+1}=0, ~~~ n=0,1,2, \ldots</math>. (в физическом определении)

*Уравнение <math>H_n(x)=0</math> имеет <math>n</math> вещественных корней, что есть попарно симметричным относительно начала системы координат и модуль каждого из них не превосходит величины <math>\sqrt{n(n-1)/2}</math>. [[Корень уравнения|Корни]] многочлена <math>H_n(x)=0</math> чередуются с корнями многочлена <math>H_{n+1}(x)=0</math>.

*Многочлен <math>H_n(x)</math> можно представить в виде определителя матрицы <math>n \times n</math>:

*:<math>

 

== Дифференцирование и рекуррентные соотношения ==

<math>

\frac{d^k}{dx^k}H_n(x)=n(n-1)\cdots (n-k+1)H_{n-k}(x)~,</math><br />