Многочлены Эрмита

Многочле́ны Эрми́та — определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.

Многочлены Эрмита
Общая информация
Формула
Скалярное произведение
Область определения
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение
Норма
Названы в честь Шарль Эрмит

Названы в честь французского математика Шарля Эрмита.

ОпределениеПравить

 
Графики многочленов Эрмита порядка   (вероятностное определение)

В теории вероятностей полиномы Эрмита обычно определяются выражением:

 ;

в физике обычно используется другое определение:

 .

Два определения, приведённые выше, не являются в точности эквивалентными друг другу; каждое из них является «отмасштабированной» версией другого

 .

Явные выражения для первых одиннадцати (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита приведены ниже (вероятностное определение):

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  .

Аналогичным образом определяются первые одиннадцать (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита в физическом определении:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Общее уравнение для многочленов Эрмита имеет вид:  

СвойстваПравить

  • Многочлен   содержит члены только той же чётности, что и само число  :
  • Многочлен   чётен при чётном   и нечётен при нечётном  :
     .
  • При   верны такие соотношения:
     , (в вероятностном определении)
     . (в физическом определении)
  • Уравнение   имеет   вещественных корней, что есть попарно симметричным относительно начала системы координат и модуль каждого из них не превосходит величины  . Корни многочлена   чередуются с корнями многочлена  .
  • Многочлен   можно представить в виде определителя матрицы  :
     

Формула сложенияПравить

Имеет место следующая формула сложения для многочленов Эрмита:

 

Легко видеть, что следующие формулы являются её частными случаями:

  •  ,  . Тогда
 .
  •  ,  ,  . Тогда
 .

Дифференцирование и рекуррентные соотношенияПравить

Производная  -го порядка от многочлена Эрмита  ,   также есть многочлен Эрмита (для физического определения):
 
Отсюда получается соотношение для первой производной (для физического определения)
 
и рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
 
Для физического определения рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
 

ОртогональностьПравить

Многочлен Эрмита создает полную ортогональную систему на интервале   с весом   или   в зависимости от определения:

 , (в вероятностном определении)
 , (в физическом определении)

где   — дельта-символ Кронекера.

Важным следствием ортогональности многочленов Эрмита является возможность разложения разных функций в ряды по многочленам Эрмита. Для любого неотрицательного целого   справедлива запись

 

Из этого выплывает связь между коэффициентами разложения функции в ряд Маклорена   и коэффициентами разложения этой же функции по многочленам Эрмита,  ,которые называются отношениями Нильса Нильсона:

 

Например, разложение функции Куммера будет иметь такой вид:

 

где   —обобщённая гипергеометрическая функция второго порядка,   — гамма-функция.

Разложение функций, в которых присутствует экспонента.

Для любой функции, которая записывается как суперпозиция экспонент   можно записать следующее разложение по многочленам Эрмита:
 

Разложения известных гиперболических и тригонометрических функций имеют вид

 
 

Дифференциальные уравненияПравить

Многочлены Эрмита   являются решениями линейного дифференциального уравнения:

 

Если   является целым числом, то общее решение вышеприведённого уравнения записывается как

 ,

где   — произвольные постоянные, а функции   называются функциями Эрмита второго рода. Эти функции не приводятся к многочленам и их можно выразить только с помощью трансцендентных функций   и  .

ПредставленияПравить

Многочлены Эрмита предполагают такие представления:

 

где   — контур, который охватывает начало координат.

Другое представление имеет вид:

 .

Связь с другими специальными функциямиПравить

  • Связь с функцией Куммера:
     
  • Связь с многочленами Лагерра:
     

ПрименениеПравить

 .
Решениями этого уравнения являются собственные функции осциллятора, которые отвечают собственным значениям  . Нормированные на единицу, они записываются как
 .
В данном выражении используются именно «физические» многочлены Эрмита  .
  • Многочлены Эрмита используются в решении одномерного уравнения теплопроводности   на бесконечном интервале. Это уравнение имеет решение в виде экспоненциальной функции  . Поскольку такую функцию можно представить в виде разложения по многочленам Эрмита, а с другой стороны она может быть разложена в ряд Тейлора по  :
 ,
то функции  , которые являются решением уравнения теплопроводности и удовлетворяют начальному условию  , выражаются через многочлены Эрмита следующим образом:
 .
Для получения последнего равенства был использован интеграл Пуассона — Фурье.
  • В лазерной физике, а точнее — в теории открытых (оптических) резонаторов, многочлены Эрмита входят в выражение, описывающее распределение амплитуды в поперечном сечении соответствующей поперечной моды Эрмита — Гаусса (собственно, произведение одного из многочленов Эрмита и функции Гаусса), характерной для оптических резонаторов с прямоугольной формой зеркал резонатора.

СсылкиПравить