Интеграл Пуассона

Не следует путать с Интеграл Эйлера — Пуассона.

Интегра́л Пуассо́на — общее название математических формул, выражающих решение краевой задачи или начальной задачи для уравнений с частными производными некоторых типов.

Задача Дирихле для уравнения Лапласа

Интеграл Пуассона для задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре выглядит следующим образом.

Пусть для гармонической в шаре функции u(r, φ) поставлено условие равенства на границе функции u₀: u(R, φ) = u₀(φ), при этом функции принадлежат следующим классам гладкости: $u(r,\varphi )\in C^{2}(D)\cap C({\overline {D}}),\ u_{0}(\varphi )\in C^{1}(\partial D)$, где ∂D — граница шара D, а ${\overline {D}}$ — его замыкание. Тогда решение такой задачи Дирихле представимо в виде интеграла Пуассона:

$u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{\omega _{n}R}}\int \limits _{\partial D}{\frac {u_{0}(\psi )}{|r-\psi |^{n}}}\,dS(\psi ),\ r\in [0;R),$

где ω_n — площадь единичной сферы, а n — размерность пространства.

Вывод формулы в двумерном случае

Известно, что функция

$u(r,\varphi )=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}(a_{n}\cos n\varphi +{\tilde {a}}_{n}\sin n\varphi )$

является решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Преобразуем это выражение с учётом выражений для коэффициентов Фурье:

$u(r,\varphi )={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )d\psi +{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\left(\cos n\varphi \int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\cos n\psi d\psi +\sin n\varphi \int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\sin(n\psi )d\psi \right)=$$={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}(\cos n\varphi \cos n\psi +\sin n\varphi \sin n\psi )\right)d\psi +{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )d\psi =$$={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\left({\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\cos n(\varphi -\psi )\right)d\psi .$

Последнюю сумму можно вычислить при 0≤r<R:

${\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\cos n(\varphi -\psi )={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}\right)^{n}={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} {\frac {{\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}}{1-{\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}}}=$$={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} {\frac {{\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}\left(1-{\frac {r}{R}}e^{-i(\varphi -\psi )}\right)}{1-2{\frac {r}{R}}\cos(\varphi -\psi )+\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}}}={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\left(R^{2}+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )\right)}}.$

Таким образом, в преобразованном виде интеграл Пуассона для круга приобретает вид:

$u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {u_{0}(\psi )d\psi }{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )}},\ r\in [0,R).$

Также формула может быть получена методом конформных отображений. Действительная и мнимая часть голоморфной на области $U$ функции удовлетворяют на ней двумерному уравнению Лапласа. Известно, что при конформном отображении области $U$ плоскости $z=x+iy$ на область $V$ плоскости $w=\xi +i\eta$ уравнение Лапласа для функции $u(x,y)$ переходит в уравнение $\triangle u(\xi ,\eta )=0$. С помощью дробно-линейной функции легко получить отображение исходного круга радиуса $R$ на единичный круг, при котором произвольная точка $z_{0}=r_{0}e^{i\varphi _{0}}$ переходит в центр. Такая функция имеет вид:

$w=\rho e^{i\psi }=f(z)=\lambda {\frac {z-z_{0}}{z-{\frac {R^{2}}{{\bar {z}}_{0}}}}}=\lambda {\frac {z-r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{z-{\frac {R^{2}}{r_{0}}}e^{i\varphi _{0}}}},$

где $\lambda$ выбирается так, чтобы граничные точки исходного круга перешли в точки $|w|=1$, при этом $|\lambda |={\frac {R}{r_{0}}}$, а ${arg}(\lambda )$ произволен. Искомая функция $u(r,\varphi )$ перейдёт в функцию $U(\rho ,\psi )$. Граничная функция $u_{0}(\varphi )$ перейдёт в $U_{0}(\psi )=u_{0}(\varphi (1,\psi ))$. Тогда по теореме о среднем:

$u(r_{0},\varphi _{0})=U\vert _{w=0}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }U_{0}(\psi )d\psi .$

Из этого выражения можно получить явное выражение для решения задачи Дирихле в круге, если выразить $U_{0}(\psi )$ через $u_{0}(\varphi )$. Для граничных точек круга $|z|\leqslant R$ и круга $|w|\leqslant 1$ формула дробно-линейного преобразования даёт

$e^{i\psi }={\frac {R}{r_{0}}}{\frac {Re^{i\varphi }-r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{Re^{i\varphi }-{\frac {R^{2}}{r_{0}}}e^{i\varphi _{0}}}},$

откуда

$d\psi ={\frac {R^{2}-r_{0}^{2}}{R^{2}+r_{0}^{2}-2Rr_{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})}}d\varphi .$

Производя замену переменной в интеграле, получим искомое выражение:

$u(r_{0},\varphi _{0})={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {R^{2}-r_{0}^{2}}{R^{2}+r_{0}^{2}-2Rr_{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})}}u_{0}(\varphi )d\varphi ,\ r_{0}\in [0,R).$

Это выражение эквивалентно вышеприведённому:

$u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {u_{0}(\psi )d\psi }{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )}},\ r\in [0,R).$

Задача Коши для уравнения теплопроводности

Однородное уравнение

Рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности:

${\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=0,\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\\\end{array}}$

где $\varphi (x)$ — начальная функция, непрерывная и ограниченная на всём пространстве, и искомая функция $u=u(x,t)$ является непрерывной и ограниченной при $t\geq 0$ и всех значениях аргумента $x$.

Фундаментальным решением или ядром уравнения теплопроводности называется решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности с начальным условием $\varphi (x)=\delta (x)$, где $\delta (x)$ — дельта-функция Дирака. Оно имеет вид:

$\Phi (x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )},\ \ x\in \mathbb {R} ^{n},\ t>0.$

где $|x|^{2}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$ — стандартный скалярный квадрат вектора $x\in \mathbb {R} ^{n}$.

Интеграл Пуассона задает единственное непрерывное и ограниченное решение данной задачи Коши по следующей формуле:

$u(x,t)=\int \limits _{\mathbf {R} ^{n}}\Phi (x-y,t)\,\varphi (y)\,dy={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{n}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x-y|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy.$

Неоднородное уравнение

Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения теплопроводности:

${\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=f(x,t),\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.\\\end{array}}$

В этом случае интеграл Пуассона имеет вид:

$u(x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{n}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x-y|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy+$

$+\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{\mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi (t-s)}})^{n}}}\exp {\biggl (}-{\frac {|x-y|^{2}}{4a^{2}(t-s)}}{\biggr )}\,f(y,s)\,dy\,ds.$

Обобщения

По теореме Римана об области, связная односвязная область в $\mathbb {C}$ конформно эквивалентна диску с метрикой Пуанкаре, то есть плоскости Лобачевского. Она допускает описание как однородное пространство, а именно $\mathrm {SO} (2,1)/\mathrm {SO} (2)$. Его ближайшими родственниками служат многомерное пространство Лобачевского $\Lambda ^{n+1}=\mathrm {SO} (n+1,1)/\mathrm {SO} (n+1)$, а также комплексное $\Lambda _{\mathbb {C} }^{n+1}=\mathrm {SU} (n+1,1)/\mathrm {SU} (n+1)$ и кватернионное $\Lambda _{\mathbb {H} }^{n+1}=\mathrm {Sp} (n+1,1)/\mathrm {Sp} (n+1)$ пространства Лобачевского.

В случае вещественного пространства Лобачевского аналог преобразования Пуассона для внешних форм Картана был найден П.-И. Гэйяром. Оно сопоставляет внешней форме, определённой на абсолюте, гармоническую козамкнутую форму на пространстве Лобачевского. Именно, пространство $\Lambda ^{n+1}\times S^{n}$, где $S^{n}=\partial \Lambda ^{n+1}$ — абсолют, является однородным пространством для группы $\mathrm {SO} (n+1,1)/\mathrm {SO} (n+1)$. На нём имеются инвариантные внешние формы $\pi _{k}\in \Omega ^{k,n-k}(\Lambda ^{n+1}\times S^{n})$ (то есть такие, которые, быть может, принимают ненулевые значения только при подстановке в них $k$ векторных полей, касающихся сомножителя $\Lambda ^{n+1}$ и $n-k$ векторных полей, касающихся сомножителя-абсолюта). Если $\alpha \in \Omega ^{k}(S^{n})$, то интеграл Пуассона от неё определяется как послойный интеграл внешнего произведения $p_{S^{n}}^{*}\alpha \wedge \pi _{k}$, где $p_{S^{n}}\colon \Lambda ^{n+1}\times S^{n}\to S^{n}$ — проекция на сомножитель. Эти формы, в сущности, являются высшими ядрами Пуассона. Инвариантные формы на однородном пространстве могут быть заданы в одной точке, и взаимно однозначно соответствуют тривиальным подпредставлениям внешней степени соответствующего присоединённого представления группы, относительно которой пространство однородно; в случае вещественного пространства Лобачевского такие формы единственны с точностью до пропорциональности в силу одномерности соответствующего тривиального подпредставления.

В случае комплексного и кватернионного пространств Лобачевского эти подпредставления уже не одномерны, поэтому определить подобным образом какое-либо каноническое преобразование Пуассона не представляется возможным. Это, однако, возможно с учётом более тонкой геометрической структуры на абсолюте: именно, абсолют $S^{2n+1}$ комплексного пространства Лобачевского $\Lambda _{\mathbb {C} }^{n+1}$ (как и вообще граница всякого комплексного многообразия) имеет КР-структуру, то есть вполне неинтегрируемое распределение (которое, если реализовать сферу $S^{2n+1}$ как единичную сферу в пространстве $\mathbb {C} ^{n+1}$ можно определить в каждой точке $x\in S^{2n+1}$ как максимальное комплексное подпространство, содержащееся в касательном пространстве $T_{x}S^{2n+1}$ к сфере). В случае кватернионного пространства Лобачевского аналогичную роль играет так называемая кватернионно-контактная структура. Со всяким вполне неинтегрируемым распределением связан комплекс Рюмина, аналогичный комплексу де Рама гладкого многообразия. Его аналог, который может быть определён чисто в алгебраических терминах теории представлений, называется комплексом Бернштейна — Гельфанда — Гельфанда. В нём имеются естественные операции, родственные элементу Казимира. Дополнительные условия на то, как должно себя вести ядро Пуассона относительно таких операций, позволяют выбрать его однозначно с точностью до пропорциональности.

Литература

• Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — гл. IV, § 40. — Любое издание.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — гл. III. — Любое издание.
• Уроев В. М. Уравнения математической физики. — М.: ИФ Яуза, 1998. — ISBN 5-88923-026-3.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1974. — 320 с.