Градуированная алгебра: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
о градуировках на алгебрах |
поправка в конструкциях |
||
Строка 4:
:<math>A_f A_g \subset A_{fg}</math>
Если ненулевой элемент ''a'' принадлежит ''A<sub>g</sub>'', то он называется однородным степени ''g''.
На любой алгебре ''A'' можно ввести ''тривиальную'' градуировку любой полугруппой ''G'' с единицей ''e'', полагая <math>A_e=A</math>. Поэтому такие "бедные" градуировки рассматривать не имеет смысла. С другой стороны, любая алгебра ''A'' градуируется группой ''G'' [[характеры группы|характеров]] центра своей группы алгебраических автоморфизмов: ▼
: <math>G=(C(Aut_{k-alg}(A)))^\vee:\quad A_g=\{a\in A|\phi (a)=g(\phi)a,</math> для всякого <math>\phi\in C(Aut_{k-alg}(A))\}</math>▼
И эта градуировка, в некотором, вполне определённом смысле,— "самая богатая" из всех абелевых градуировок алгебры ''A'', поскольку на любой ''G''—градуированной алгебре ''A'' группа характеров ''G'' действует автоморфизмами, по той же формуле. ▼
Когда в качестве ''G'' берут аддитивную группу целых чисел или полугруппу целых неотрицательных чисел, алгебру ''A'' называют просто градуированной.
== Конструкции с градуировками ==
* Если ''A'' — ''G''—градуированная алгебра, а <math>\psi : G\to H</math> — [[гомоморфизм]] полугрупп, тогда ''A'' наделяется ''H''—градуировкой по правилу:
: <math>A_h=\oplus_{g\in G} \{A_g|\psi (g)=h\}</math>
▲*На любой алгебре ''A'' можно ввести ''тривиальную'' градуировку любой полугруппой ''G'' с единицей ''e'', полагая <math>A_e=A</math>. Поэтому такие "бедные" градуировки рассматривать не имеет смысла.
*С другой стороны, над полем <math>\mathbb{C}</math> любая алгебра ''A'' градуируется группой ''G'' [[характеры группы|характеров]] максимального тора своей группы алгебраических автоморфизмов:
▲: <math>G=(
▲И эта градуировка, в
== Примеры == ▼
* Кольцо [[многочлен|многочленов]] от одной или нескольких переменных.▼
* [[Кольцо когомологий]]▼
* [[Алгебра матриц]] порядка ''n'' градуируется группой <math>Z^{n-1}\!</math>▼
* [[Полугрупповая алгебра]] <math>k\left[G\right]</math> — является ''G''—градуированной алгеброй
== Литература ==
C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen ''Graded Ring Theory'',— North-Holland, Amsterdam,1982
▲==Примеры==
▲*Кольцо [[многочлен|многочленов]] от одной или нескольких переменных.
▲*[[Кольцо когомологий]]
▲* [[Алгебра матриц]] порядка ''n'' градуируется группой <math>Z^{n-1}</math>
{{math-stub}}
| |||