Представление Гейзенберга: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Akrigel (обсуждение | вклад) м оформление Метка: редактор вики-текста 2017 |
|||
Строка 30:
:<math> \hat S(t,t_0)=\exp\left({-\frac{i}{\hbar}\hat H(t-t_0)}\right), </math>
и унитарное преобразование принимает вид:
:<math> \hat A_H(t) = e^{i\hat H(t-t_0)/\hbar} \hat A(t) e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar}. </math>
== Переход от представления Шрёдингера к представлению Гейзенберга ==
Строка 38:
Введем оператор эволюции <math>\hat S(t,t_0)</math>, который переводит состояние системы из начального момента времени в любой другой:
:<math> \hat S(t,t_0) \left| \Psi(t_0) \right\rangle =\left| \Psi(t) \right\rangle
Подставив формулу (2) в уравнение Шрёдингера получим, что оператор эволюции удовлетворяет уравнению:
:<math>
i\hbar {\partial \over \partial t} \hat S(t,t_0) = \hat H(t) \hat S(t,t_0),
</math>
:<math>
\hat S(t_0,t_0)=\hat I
</math>
где <math>\hat I</math> - единичный оператор.
В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то оператор эволюции имеет вид:
:<math> \hat S(t,t_0)=e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar}. </math>
Теперь рассмотрим среднее значение оператора <math> \hat A </math> некоторой наблюдаемой величины:
:<math> \langle \hat A(t) \rangle=\langle \Psi(t)| \hat A(t) | \Psi(t) \rangle=\langle \Psi(t_0)|\hat S(t_0,t) \hat A(t) \hat S(t,t_0) | \Psi(t_0) \rangle = \langle \Psi(t_0)| \hat A_H(t) | \Psi(t_0) \rangle. </math>
Таким образом, оператор <math> \hat A </math> в представлении Гейзенберга определяется формулой:
:<math> \hat A_H(t) = \hat S(t_0,t) \hat A(t) \hat S(t,t_0)
В частности, если гамильтониан не зависит от времени, то
:<math> \hat A_H(t) = e^{i\hat H(t-t_0)/\hbar} \hat A(t) e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar}. </math>
Продифференцируем формулу <math>(4) </math> по времени и используем уравнение <math>(3) </math>, тогда получим уравнение движения операторa <math>\hat A(t)</math> в Гейзенберговском представлении:
:<math>{d \over dt} \hat A_H(t)= {i \over \hbar }[\hat H(t),\hat A_H(t)] + {\partial \over \partial t}\hat A_H(t)
где частная производная обозначает явную зависимость оператора <math>\hat A(t)</math> от времени.
== Пример. Квантовый гармонический осциллятор. ==
Оператор Гамильтона [[Квантовый гармонический осциллятор|квантового гармонического осциллятора]] в представлении операторов рождения и уничтожения имеет вид:
:<math> \hat H= \hbar\omega(\hat a_H^\dagger \hat a_H+1/2).</math>
:<math> i\hbar {d\over dt} \hat a_H(t)= - \hbar\omega [\hat a_H^\dagger \hat a_H+1/2,\hat a_H(t)], </math>
:<math> i\hbar {d\over dt} \hat a_H(t)= \hbar\omega\hat a_H(t), </math>
:<math> \hat a_H(t)=\hat a e^{-i\omega(t-t_0)}, </math>
:<math> \hat a^{\dagger}_H(t)=\hat a^{\dagger} e^{i\omega(t-t_0)}
== Применение ==
Строка 81:
== Литература ==
* ''Боголюбов Н. Н., Ширков Д.''
* {{Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Квантовая механика|2004}} Параграф 13. Гейзенберговское представление операторов.
* ''Мессиа А.''
* ''Садбери А.''
* ''Сербо В. Г.
== Ссылки ==
| |||