Ряд Тейлора: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
м →Критерий аналитичности функции: оформление |
|||
Строка 7:
== Определение ==
1. '''Многочленом''' Тейлора функции <math>f(x)</math> вещественной переменной <math>x</math>, дифференцируемой <math>k</math> раз в точке <math>a</math>, называется конечная сумма
: <math>\sum_{n=0}^k \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n=f(a)+ f'(a)(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k</math>,
используемая в приближённых вычислениях, как обобщение следствия [[Формула конечных приращений|теоремы Лагранжа о среднем значении]] дифференцируемой функции:
: при <math>x-a=h \to 0</math> верно <math>f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h +o(h)\approx f(a)+f'(a)\cdot h=f(a)+f'(a)\cdot (x - a)</math>.
При записи суммы использованы обозначение <math>f^{(0)}(x)=f(x)</math> и соглашение о произведении по пустому множеству: <math>0!=1</math>, <math>(x - a)^0=1</math>.
2. '''Рядом''' Тейлора в точке <math>a</math> функции <math>f(x)</math> вещественной переменной <math>x</math>, бесконечно дифференцируемой в окрестности точки <math>a</math>, называется [[
: <math>\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n=\sum_{n=0}^{+\infty} \varphi_{n}(x;a)</math> с общим членом <math>\varphi_{n}(x;a)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\cdot(x - a)^n</math>, зависящим от параметра <math>a</math>.
Другими словами, рядом Тейлора функции <math>f(x)</math> в точке <math>a</math> называется ряд по положительным степеням двучлена <math>(x - a)</math>:
: <math>f(a)+ f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \ldots\,</math>.<ref>Запорожец Г. И. «Руководство к решению задач по математическому анализу» — С. 371</ref>
Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции <math>f(x)</math> в окрестности точки <math>a</math> не достаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции где-либо, кроме самой точки <math>a</math>.
3. '''Рядом''' Тейлора в точке <math>a</math> функции <math>f(z)</math> комплексной переменной <math>z</math>,
удовлетворяющей в некоторой окрестности <math>U\subseteq \mathbb C</math> точки <math>a</math> [[Условия Коши — Римана|условиям Коши
называется степенной ряд
: <math>\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z - a)^n</math>.
В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса <math>R>0</math>, что в <math>D_{R}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|< R\}\subseteq U</math> ряд сходится к функции <math>f(z)</math>.
4. В случае <math>a=0</math> ряд
: <math>\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n</math>
называется '''рядом [[Маклорен
== Аналитическая функция ==
1. Функция <math>f(x)</math> вещественной переменной <math>x</math> называется [[аналитическая функция|аналитической]] в точке <math>x=a</math>, если существуют такой радиус
<math>\sum\limits_{k = 0}^{+\infty} {{c_k}{{(x - a)}^k}}\,</math>,
Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).
2. Степенной ряд <math>\sum\limits_{k = 0}^{+\infty} {{c_k}{{(z - a)}^k}}</math> на любом компактном [[Подмножество|подмножестве]] <math>K</math> области сходимости <math>D_{R}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|< R\}</math> допускает почленное дифференцирование любое количество раз.
Если в <math>k</math>-ю производную функции <math>\sum\limits_{k = 0}^{+\infty} {{c_k}{{(z - a)}^k}}</math> подставить <math>z=a</math>, то получится <math>{c_k}\cdot k!</math>.
Таким образом, для аналитической в точке <math>a</math> функции <math>f(z)</math> для некоторого <math>R>0</math> всюду в <math>D_{R}=\{z\in\mathbb C: |z-z_{0}|< R\}</math> является верным представление <math>f(z)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (z - a)^k</math>.
Следствие. Функция <math>f(x)</math> вещественной переменной <math>x</math> является аналитической в точке <math>a</math> тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром <math>a</math> на некотором открытом интервале, содержащем точку <math>a</math>.
3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке <math>a</math> функции <math>f(x)</math> вещественного переменного <math>x</math> её ряд Тейлора <math>\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} (x - a)^k</math>
Ответ: нет.
Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности
<math>a</math>.
Примеры. Функции вещественной переменной <math> f_{2}(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
Строка 58:
0,& x = 0
\end{array} \right.\,
</math>,
<math> f_{+}(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
{e^{ - \frac{1}{x}}},& x > 0\\
0,&x \le 0
\end{array} \right.\,
</math>,
<math> f_{\rm v}(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
{e^{ - \frac{1}{{|x|}}}},& x \ne 0\\
Строка 70:
</math>
являются бесконечно дифференцируемыми в точке <math> x=0
</math>, причём все эти производные равны нулю.
Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром <math> a=0
</math> тождественно равны нулю.
Однако, для любого <math>R>0</math> в окрестности <math>(-R; +R)</math> точки <math>a=0</math> найдутся точки,
в которых функции, отличны от <math>0</math>.
Таким образом, эти функции не являются в точке <math>a=0</math> аналитическими.
{{Начало скрытого блока|
Строка 85:
0,& x = 0
\end{array} \right.\,
</math>, предложенной [[Коши, Огюстен Луи|Огюстеном Луи Коши]].
Функция <math>\exp\left( - \frac{1}{z^2}\right)</math>, является аналитической функцией комплексной переменной
для всех <math>z\in\overline{\mathbb C}\setminus\{0\}</math>.
Для <math>z \neq 0</math> очевидно, что
<math>\frac{d}{dz}\exp\left( - \frac{1}{z^2}\right)
=\exp\left( - \frac{1}{z^2}\right)\cdot \left( \frac{2}{z^3}\right)</math>.
Функция <math>f(x)</math> для <math>x\in\mathbb R</math>
<math>\exp\left( - \frac{1}{x^2}\right)</math>,
дополненная пределами слева <math>\lim_{x\to 0, x<0} \exp\left( - \frac{1}{x^2}\right)=0</math>
и справа <math>\lim_{x\to 0, x>0} \exp\left( - \frac{1}{x^2}\right)=0</math> в точке <math>x=0</math>.
Найдём производную функции <math>f(x)</math> в точке <math>x=0</math>.
По определению:
<math>f'(0) = \lim_{\Delta x \to 0, \Delta x\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x}
Строка 107:
=\lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{2 f(h)}{{h}^{3}}</math>.
Поскольку для <math>x \in (0;1)</math> выполняется
<math>0<e^{ - \frac{1}{x^{2}}} < e^{ - \frac{1}{x}} </math>,
то
докажем, что для произвольного <math>\alpha> 0</math> верно <math>
\lim_{x \to 0, x>0}\frac{ e^{ - \frac{1}{x}} }{x^{\alpha}} =
0</math>.
Применение правила Лопиталя непосредственно к частям
<math>\lim_{x \to 0, x>0}e^{ - \frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0, x>0}x^{\alpha}=0</math> не приводит к результату.
Выполним замену переменной: <math>\frac{1}{x} = t</math>:
Строка 123:
= \lim_{t \to +\infty} \frac{\alpha t^{\alpha-1}}{e^t}</math>.
Пусть <math>k =\lceil \alpha \rceil</math>.
Применяя правило Лопиталя
<math> \lim_{t \to +\infty} \frac{t^{\alpha}}{e^t}
Строка 131:
= \lim_{t \to +\infty} \frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)t^{\alpha-k}}{e^t}=0</math>.
Таким образом,
<math>f'(0) = \lim_{h \to 0, h\in\mathbb R\setminus\{0\}} \frac{2 f(h)}{{h}^{3}}=0</math>.
Найдём (для <math>x \neq 0</math>) несколько начальных
производных функции <math>f(x)</math>:
Строка 149:
</math>
И так далее. Во всех случаях, очевидно,
получается произведение <math>f(x)</math>
на сумму целых отрицательных степеней
<math>x</math>.
Конечная сумма
бесконечно малых является бесконечно малой.
Таким образом,
<math>\lim_{x \to 0, x\in\mathbb R\setminus\{0\}}f^{(k)}(x) = 0 </math>.
Вычисляя последовательно по определению (как выше) производные <math>f(x)</math> в точке <math>x=0</math>,
обнаруживаем, что все производные в
точке <math>x=0</math> равны нулю.
{{Конец скрытого блока}}
== Область сходимости ряда Тейлора ==
Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости
и интервал (с центром в точке <math>a</math>)
1. Например, функция <math>f(x) = \frac{1}{1 - x}</math> может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом: <math>\frac{1}{1 - x} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {{x^k}} </math> (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако, если функция <math>\frac{1}{1 - x} </math> определена для всех действительных чисел, кроме точки <math>x=1 </math>, то ряд <math> \sum\limits_{k = 0}^\infty {x^k} </math> сходится только при условии <math> |x|<1 </math>.
2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:
: <math>R = \lim_{k \to \infty} \left| {\dfrac{{\dfrac{{{f^{(k)}}(a)}}{{k!}}}}{{\dfrac{{{f^{(k + 1)}}(a)}}{{(k + 1)!}}}}} \right|
Строка 176:
3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию <math> e^x </math>. Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен <math>R=\lim_{k \to \infty}\left| {\frac{{{e^a}}}{{{e^a}}}(k + 1)} \right| = \lim_{k \to \infty}(k + 1) = \infty</math>. Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси <math>x</math> для любого параметра <math>a</math>.
<!---- Осмысленный кусок из бредового раздела
4. От параметра
Например, разложим в общем случае (для произвольного <math>a</math>) в ряд Тейлора функцию <math>f(x) = \frac{1}{{1 - x}}</math>: <math>f(x) = \frac{1}{{1 - x}} = \frac{1}{{1 - a}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {{{\left( {\frac{{x - a}}{{1 - a}}} \right)}^k}}</math>.
Строка 193:
Предположим, что функция <math>f(x)</math> имеет все производные до <math>n+1</math>-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку <math>x=a</math>. Найдем многочлен <math>{P_n}(x)</math> степени не выше <math>n</math>, значение которого в точке <math>x=a</math> равняется значению функции <math>f(x)</math> в этой точке, а значения его производных до <math>n</math>-го порядка включительно в точке <math>x=a</math> равняются значениям соответствующих производных от функции <math>f(x)</math> в этой точке.
Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид <math>{P_n}(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a)}}{{k!}}{{(x - a)}^k}}</math>,
Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в [[окрестность|окрестности]] некоторой точки.
Строка 218:
\end{array}
</math>
: (Отсюда, в частности, видно, что <math>{R_n}(a) = {R_n}(a)' = {R_n}(a)'' = ... ={R_n}{(a)^{(n)}} = 0 </math>
: По теореме Лагранжа (поскольку <math>f(x)</math> соответствует условиям теоремы) существует такая точка <math>\xi </math> между <math>x </math> и <math>a </math> (
: Пусть остаточный член задан в виде <math>{R_n}(x) = \frac{{f{{(\xi )}^{(n + 1)}}{{(x - a)}^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}} </math>. Тогда, во-первых, он и все его производные равны нулю в точке <math>x=a</math>, во-вторых, <math>{R_n}{(x)^{(n + 1)}} = f{(\xi )^{(n + 1)}} </math>. В конце
{{Конец скрытого блока}}
В форме [[Коши, Огюстен Луи|Коши]]:
Строка 232:
= \frac{1}{{(n - 1)!}}\int\limits_a^x {{{(x - t)}^{n - 1}}{f^{(n)}}(t)d} t - \frac{{{{(x - a)}^n}{f^{(n)}}(a)}}{{n!}} = ... = \int\limits_a^x {f'(t)d} t - \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a){{(x - a)}^k}}}{{k!}}} = f(x) - \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a){{(x - a)}^k}}}{{k!}}}
\end{array}</math>
: откуда
: <math>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{f^{(k)}}(a){{(x - a)}^k}}}{{k!}}} + {R_n}(x)</math>
{{Конец скрытого блока}}
Строка 247:
== Критерий аналитичности функции ==
{{mainref|<ref>{{Книга|автор=Н.С. Пискунов|заглавие=Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов|ответственный=|издание=тринадцатое|место=|издательство=МОСКВА "НАУКА"|год=1985|страницы=Том 2, глава 16, параграф 16|страниц=|isbn=}}</ref>}}
Предположим, что некоторую функцию <math>f(x)</math> нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке <math>x=a</math>. Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (
Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка <math>x=a</math>, потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции <math>f(x)</math> только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.
Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку <math>a</math>. Пусть ряд Тейлора с параметром <math>a</math> такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех <math>x</math> из окрестности <math>a</math> по формуле Тейлора можно записать <math>\lim_{n \to \infty}R_{n}(x) = \lim_{n \to \infty}(f(x)-P_n(x))=f(x)-\lim_{n \to \infty}P_n(x)</math>, где <math>\lim_{n \to \infty}P_n(x)</math>
Очевидно, что функция <math>f(x)</math> является аналитической в точке <math>a</math> тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки <math>a</math> существует непрерывная область <math>X</math> такая, что для всех <math>x \in X</math> остаточный член
В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию <math> e^x </math>.
Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид <math>{R_n}(x) = \frac{{{{(x - a)}^{n + 1}}}}{{(n + 1)!}}{e^{\xi_n} }</math>, где <math>\xi_n</math>
Здесь используется, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена некоторым числом <math>M</math>
Строка 300:
: <math>R_n(x,y)=\dfrac {\mathrm{T}^{(n+1)} f(\xi,\zeta)} {(n+1)!},\ \xi \in [x_0,x],\ \zeta \in [y_0,y]</math>
Следует иметь в виду, что операторы <math>\dfrac {\partial} {\partial x}</math> и <math>\dfrac {\partial} {\partial y}</math>
в <math>\mathrm{T}^{k}</math> действуют только на функцию <math>f(x,y)</math>, но не на <math>(x-x_0)</math> и/или <math>(y-y_0)</math>.
Аналогичным образом формула строится для функций любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе <math>\mathrm{T}</math>.
В случае функции одной переменной <math>\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {d}{dx}\,</math>.
Строка 318:
где <math>R_m(x_1, x_2, ... x_n)</math> — остаточный член порядка <math>(m+1)</math>.
Для функции <math>n</math> переменных, бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности точки <math>(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})</math>, ряд Тейлора имеет вид
<math>f(x_1, x_2, ... x_n)=\sum\limits_{k_1=0}^\infty\sum\limits_{k_2=0}^\infty...\sum\limits_{k_n=0}^\infty C_{k_1,k_2,...k_n}(x_1-a_{1})^{k_1}(x_2-a_{2})^{k_2}...(x_n-a_{n})^{k_n}</math>,
Строка 328:
</math>
===
Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных <math>x</math>, <math>y</math> и <math>z</math> в окрестности точки <math>(0, 0, 0)</math> до второго порядка малости. Оператор <math>\mathrm{T}</math> будет иметь вид
: <math>\mathrm{T}= x \dfrac {\partial} {\partial x}+ y \dfrac {\partial} {\partial y}+ z \dfrac {\partial} {\partial z}.</math>
Строка 411:
* {{статья |автор=Петрова С. С., Романовска Д. А. |заглавие=К истории открытия ряда Тэйлора.
|издание=[[Историко-математические исследования]] |номер=25
|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |место=М. |год=1980 |страницы=
* {{книга
|автор = [[Пискунов, Николай Семёнович|Пискунов Н. С.]]
| |||