Функция Гудермана: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
V1adis1av (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
V1adis1av (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 1:
[[Файл:Gudermannian.svg|мини|Функция Гудермана с асимптотами <math>y=\pm\pi/2</math>, показанными синим цветом]]
'''Фу́нкция Гудерма́на''' ('''гудерманиа́н''', или '''гиперболи́ческая амплиту́да'''<ref>Название «гиперболическая амплитуда» предложено Гуэлем в 1864 году.</ref>) — функция, показывающая связь [[тригонометрические функции|тригонометрических]] и [[гиперболические функции|гиперболических]] функций без привлечения [[комплексные числа|комплексных чисел]]. Названа в честь немецкого математика [[Кристоф Гудерман|Кристофа Гудермана]]. Обозначается <math>\operatorname{gd} x,\
== Определение и свойства ==
: <math>\operatorname{gd} x =\int\limits_0^x\frac{dt}{\operatorname{ch}\,t}.</math>
Строка 38 ⟶ 39 :
: <math>e^x = \sec\operatorname{gd} x + \operatorname{tg}\operatorname{gd} x = \operatorname{tg}\frac{\pi+2\operatorname{gd} x}{4} = \frac{1 + \sin\operatorname{gd} x}{\cos \operatorname{gd} x}.</math>
== Обратная функция ==
[[Файл:GudermannianInverse.svg|мини|Функция Ламберта (ламбертиан, антигудерманиан), обратная к функции Гудермана]]
[[Обратная функция]] к функции Гудермана:
Строка 45 ⟶ 47 :
Она называется '''антигудерманианом''', а также '''ламбертианом''' или '''функцией Ламберта''' (в честь [[Ламберт, Иоганн Генрих|Иоганна Ламберта]]), и обозначается также как <math>\operatorname{lam} x</math> или <math>\operatorname{arggd} x.</math> Её, как и функцию Гудермана, используют в теории построения картографических проекций; она позволяет перейти от географической широты точки на сфере к вертикальной координате образа точки в проекции Меркатора (см. также [[Интеграл от секанса]]). Основные тождества для функции Ламберта:
: <math>\operatorname{arcgd} x \, = \, \operatorname{arch}(\sec x)=\operatorname{arth}(\sin x)=\operatorname{arsh}(\operatorname{tg} x)\, = \,\ln\bigl((1+\sin(x))\cdot\sec x\bigr)\, = \,\ln(\operatorname{tg}x+\sec x)=\ln\biggl(\!\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\!\!\biggr)\, = \,\frac{1}{2}\ln\biggl(\frac{1+\sin x}{1-\sin x} \biggr).</math>
Имеют место также следующие тождества, связывающие через ламбертиан тригонометрические и гиперболические функции:
:<math>\begin{align}\operatorname{sh}\left(\operatorname{arcgd}x\right)&=\operatorname{tg} x;&\quad\operatorname{ch}\left(\operatorname{arcgd} x\right)&=\sec x;\\
\operatorname{th}\left(\operatorname{arcgd} x\right)&=\sin x ;&\quad\;\operatorname{sch}\left(\operatorname{arcgd} x\right)&=\cos x;\\
\operatorname{cth}\left(\operatorname{arcgd} x\right)&=\operatorname{cosec} x ;&\quad\,\operatorname{csch}\left(\operatorname{arcgd} x\right)&=\operatorname{ctg} x;\\
\operatorname{th}\left(\frac{\operatorname{arcgd} x}{2}\right)&=\operatorname{tg}\frac{x}{2};&\quad\,\operatorname{cth}\left(\frac{\operatorname{arcgd} x}{2}\right)&=\operatorname{ctg}\frac{x}{2}.\\
\end{align}\,\!</math>
Ламбертиан является нечётной, строго возрастающей функцией, определённой на интервале {{math|(−π/2, π/2)}}. Её область значений лежит в интервале <math>\plusmn\infty.</math> Как и функция Гудермана, она может быть обобщена для комплексного аргумента.
Строка 54 ⟶ 64 :
откуда вытекают также соотношения
: <math>\operatorname{gd} (i\operatorname{gd} x) = ix, \qquad \operatorname{arcgd} (i\operatorname{arcgd} x) = ix.</math>
== Производные, ряды и интегралы ==
Производные функции Гудермана и обратной функции Гудермана равны соответственно гиперболическому и тригонометрическому секансу:
Строка 63 ⟶ 75 :
: <math>\operatorname{gd} x = x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{24}-\frac{61x^7}{5040}+\frac{277x^9}{72576}+\dots, </math>
: <math>\operatorname{arcgd} x = x+\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{24}+\frac{61x^7}{5040}+\frac{277x^9}{72576}+\dots </math>
Коэффициенты разложения гудерманиана и антигудерманиана при членах одинаковой степени совпадают по модулю, однако у членов со степенью 3, 7, 11,... коэффициенты разложения гудерманиана отрицательны, а у обратной функции — положительны.
Интеграл функции Гудермана:
Строка 70 ⟶ 84 :
где {{math|Li<sub>2</sub>}} — [[дилогарифм]].
Гудерманиан и антигудерманиан, позволяющие легко переходить от гиперболических к тригонометрическим функциям и обратно, используются для [[Методы интегрирования|аналитического интегрирования]] методом тригонометрической и гиперболической подстановки.
== Литература ==
Строка 81 ⟶ 95 :
* {{MathWorld|GudermannianFunction|Функция Гудермана}}
== Примечания ==
{{примечания}}
{{rq|refless|isbn|topic=math}}
| |||