Промежуток (математика): различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
отмена правки 92032693 участника 195.19.37.181 (обс.) Метка: отмена |
м пунктуация, оформление (в т. ч. ВП:ОС#Формулы) |
||
Строка 7:
|год = 2003
|том = 1
|страницы =
|страниц = 704
|isbn = 5-7107-4119-1
}}</ref>, или более точно, '''промежуток [[Числовая прямая|числовой прямой]]''' — множество [[Вещественное число|вещественных чисел]], обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними. С использованием [[Логика первого порядка|логических символов]], это определение можно записать так:{{Кс}}<math>X \subset \mathbb{R}</math> — промежуток, если
В качестве примеров промежутков можно привести следующие множества:
\begin{
X_1 &= \{ x \in \mathbb{R} \colon 0 \leqslant x \leqslant 1\}, &
X_2 &= \{ x \in \mathbb{R} \colon 0 \leqslant x < 1\}, &
X_3 &= \{ x \in \mathbb{R} \colon 0 < x \leqslant 1\}, \\
X_4 &= \{ x \in \mathbb{R} \colon 0 < x < 1\}, &
X_5 &= \{ x \in \mathbb{R} \colon x > 0\}, &
X_6 &= \{ x \in \mathbb{R} \colon x < 1\},\\
X_7 &= \mathbb{R}, &
X_8 &= \varnothing
\end{
</math
== Типы промежутков ==
''Конечный'' промежуток состоит из множества чисел, [[Ограниченное множество|заключенных]] между двумя числами <math>a</math> и <math>b</math> — ''концами промежутка'', которые сами могут быть включены в его состав, или нет<ref name="Кудрявцев"></ref>.
Если <math>a \leqslant b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}</math>, то промежуток <math>\{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x
[a, b]
</math><!-- пока \stackrel сломан, пробелы добавлены вручную -->
В случае <math>a = b</math> отрезок состоит из одной точки.
Если <math>a < b, a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}</math>, то промежуток <math>\{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}</math> называется ''интервалом''
(a, b)
</math><!-- пока \stackrel сломан, пробелы добавлены вручную -->
Промежутки
[a, b)
(a, b]
</math><!-- пока \stackrel сломан, пробелы добавлены вручную -->
называются ''полусегментами'' (не дополненными до сегмента) или ''полуинтервалами''.
[[Длина|''Длиной'']] промежутка во всех случаях называется число <math>b - a</math>.
''Бесконечные'' промежутки
\{x \in \mathbb{R} \colon x \geqslant a \}, \quad
\{x \in \mathbb{R} \colon x > a \}, \quad
Строка 57:
\{x \in \mathbb{R} \colon x < b \}, \quad
\mathbb{R}
</math
[[Ограниченное множество|не ограничены]] либо сверху, либо снизу каким-либо вещественным числом. В этом случае удобно считать, что у этих промежутков одним из ''концов'', или обоими служат ''несобственные числа'' <math>+\infty, -\infty</math>, полагая, что для любого вещественного числа <math>x \in \mathbb{R}</math> справедливы неравенства <math>x < + \infty, x > -\infty</math>. Обозначения и наименования бесконечных промежутков аналогичны таковым для конечных промежутков. Например, выписанные выше бесконечные промежутки обозначаются соответственно
[a, +\infty), \quad
(a, +\infty), \quad
(-\infty, b], \quad
(-\infty, b), \quad
(-\infty, +\infty).
</math
[[Пустое множество|''Пустое множество'']] <math>\varnothing</math> также является промежутком.
Строка 72:
{{main|Расширенная числовая прямая}}
Множество вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>, дополненное элементами <math>+\infty</math> и <math>-\infty</math>, называется расширенной числовой прямой и обозначается <math>\overline{\mathbb{R}}</math>, то есть
\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ +\infty\} \cup \{ -\infty\}
</math
При этом для любого вещественного числа <math>x \in \mathbb{R}</math> по определению полагают выполненными неравенства
-\infty < x, \quad x < +\infty, \quad -\infty < +\infty
</math
Для расширенной числовой прямой также вводят понятия промежутков — отрезков, интервалов, полуинтервалов<ref name="Кудрявцев"></ref>. В отличие от соответствующих промежутков числовой прямой они могут содержать элементы <math>\pm \infty</math>. Например, <math>(a, +\infty] = (a, +\infty) \cup {\{+\infty\}}</math>.
== Терминология ==
В [[русский язык|русском языке]] слова ''промежуток'' и ''интервал'' соответствуют одному английскому слову
|автор = Гелбаум, Б., Олмстед, Дж.
|заглавие = Контрпримеры в анализе
Строка 91:
|издательство = ЛКИ
|год = 2007
|страницы =
|страниц = 258
|isbn = 978-5-382-00046-6
}}</ref>
: <math>
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x \leqslant b \}
</math> — ''замкнутый интервал'' ({{lang-en|closed interval}}),
: <math>
(a, b) = \{x \in \mathbb{R} \colon a < x < b \}
</math> — ''открытый интервал'' ({{lang-en|open interval}}),
: <math>
[a, b) = \{x \in \mathbb{R} \colon a \leqslant x < b \}
</math> — ''полуоткрытый (или полузамкнутый) интервал'' ({{lang-en|half-open interval/half-closed interval}}),
: <math>
(a, b] = \{x \in \mathbb{R} \colon a < x \leqslant b \}
</math> — ''полуоткрытый (или полузамкнутый) интервал'' ({{lang-en|half-open interval/half-closed interval}}).
То есть, различные типы ''интервалов''.
Строка 125:
|страниц = 416
|isbn = 5-9221-0196-X
}}</ref> вместо «
Однако, особенно в учебной литературе, где наибольшее количество теорем для функций на компактных множествах, для замкнутого промежутка предпочтительно иметь отдельное название в одно слово — ''сегмент''<ref name=":0" /> (термин «отрезок» имеет скорее геометрический оттенок, как и «промежуток числовой прямой»). В этом случае термин «интервал» закрепляется только за открытым промежутком.
См. также [[Открытое множество|открытые]] и [[Замкнутое множество|замкнутые]] множества.
| |||