Алгебра над полем: различия между версиями

* Гомоморфизм <math>K</math>-алгебр — это <math>K</math>-линейное отображение, такое что <math>f(ab)=f(a)\cdot f(b)</math> для любых <math>a,b</math> из области определения.

* '''Подалгебра''' алгебры над полем <math>K</math> — это [[линейное подпространство]], такое что произведение любых двух элементов из этого подпространства снова ему принадлежит. Другими словами, подалгеброй <math>U</math> линейной алгебры <math>R</math> над полем <math>P</math> называется её подмножество если оно является подкольцом кольца <math>R</math> и подпространством линейного пространства <math>R</math><ref>''Скорняков Л. А.'' Элементы алгебры. - М., Наука, 1986. - с. 190</ref>.

* '''Левый идеал''' <math>K</math>-алгебры — это линейное подпространство, замкнутое относительно умножения слева на произвольный элемент кольца. Соответственно, правый идеал замкнут относительно правого умножения; двусторонний идеал — идеал, являющийся левым и правым. Единственное отличие этого определения от определения [[идеал (математика)|идеала кольца]] — это требование замкнутости относительно умножения на элементы поля, в случае алгебр с единицей это требование выполняется автоматически.

* '''Алгебра с делением''' — это алгебра над полем, такая что для любых её элементов <math>a\neq 0</math> и <math>b</math> уравнения <math>ax=b</math> и <math>ya=b</math> разрешимы<ref>''Кузьмин Е. Н.'' [http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s00/e0000104/index.shtml Алгебра с делением]</ref>. В частности, ассоциативная алгебра с делением, имеющая единицу, является [[тело (алгебра)|телом]].