Закон Бернулли: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Ahasheni (обсуждение | вклад) |
Ahasheni (обсуждение | вклад) |
||
Строка 85:
{{main|Баротропность}}
Уравнение Бернулли может быть выведено и из [[Уравнение движения сплошной среды|уравнения движения жидкости]]{{#tag:ref|«…[Вывод теоремы Бернулли из уравнения энергии] обедняет содержание теоремы Бернулли … Интеграл Бернулли, вообще говоря, не зависит от уравнения энергии, хотя действительно совпадает с ним для изоэнтропического и адиабатического движения совершенного газа»{{sfn|''Бэтчелор Дж.'' Введение в динамику жидкости|1973|с=208|loc=Примечание Г. Ю. Степанова}}.|group=K}}{{#tag:ref|«Два … пути получения уравнения Бернулли не эквивалентны. При энергетическом выводе нет необходимости в предположении об изэнтропичности течения. При интегрировании уравнения движения интегралы Бернулли получаются не только вдоль линий тока, но и вдоль вихревых линий»{{sfn|''Гольдштейн Р. В., Городцов В. А.'' Механика сплошных сред|2000|с=104}}.|group=K}}. При этом течение предполагается стационарным и [[баротропность|баротропным]]. Последнее означает, что плотность жидкости или газа не обязательно постоянна (как у предполагавшейся ранее несжимаемой жидкости), но является функцией только давления: <math>\rho=\rho(p)</math>, что позволяет ввести ''функцию давления''{{sfn|''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа|2003|loc=§23, уравнение (9)}} <math>{\cal P}=\int{\frac{\mathrm{d}p}{\rho(p)}}.</math> В этих предположениях величина
: <math>\frac {v^2}{2}+
постоянна вдоль любой линии тока и любой [[вихревая линия|вихревой линии]]. Соотношение справедливо для течения в любом [[потенциальное векторное поле|потенциальном поле]], при этом <math>
{{Hider| title = ''Вывод интеграла Бернулли для баротропного течения'' | content =
<!------------------------------------------------------------------------------------->
[[Уравнение Громеки — Лэмба]]{{sfn|''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа|2003|loc=§23, уравнение (7)}}{{sfn|''Седов Л. И.'' Механика сплошной среды|1970|loc=Глава VIII. §2, уравнение (2.1)}} (квадратные скобки обозначают [[векторное произведение]]) имеет вид:
: <math>\frac{\partial \vec v}{\partial t}+\mathrm{grad}\left(\frac{v^2}{2}\right)+\left[\mathrm{rot}\,\vec v , \vec v\right]=-\frac1\rho\mathrm{grad}\,p+\vec{F}</math>
В силу сделанных предположений <math>\frac{\partial \vec v}{\partial t}=0,</math> <math>\frac{\mathrm{grad}\,p}{\rho}=\mathrm{grad}\,{\cal P}</math> и <math>\vec{F}=-\mathrm{grad}\,\varphi</math> (в частном случае однородной силы тяжести её потенциал равен <math>\varphi=g\,
: <math> \mathrm{grad}\left(\frac{v^2}{2}+\varphi+{\cal P}\right)+\left[\mathrm{rot}\,\vec v , \vec v\right]=0 </math>
[[Скалярное произведение]] этого уравнения на единичный вектор <math>\vec{l}=\frac{\vec{v}}{v},</math> касательный к линии тока, даёт:
| |||