Оператор (математика): различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Bezik (обсуждение | вклад) отклонено последнее 1 изменение (Top Yory OFIL): не имя собственного, неясно, что поисковой отклик должен подтверждать |
Bezik (обсуждение | вклад) обработка в преамбуле, легко сказать что «морфизм» или «отображение», но это не обеспечивает дефиницию, -неадекватные источники |
||
Строка 1:
{{другие значения|Оператор}}
'''Опера́тор''' ({{lang-latelat|operator}} — работник, исполнитель, от {{lang-la2|operor}} — работаю, действую) — [[Отображение|математическое отображение]] между [[Множество|множествами]], в котором каждое из них наделено какой-либо дополнительной [[Математическая структура|структурой]] (порядком, топологией, алгебраическими операциями). Понятие оператора используется в различных разделах математики для отличия от другого рода отображений (главным образом, [[Числовая функция|числовых функций]]); точное значение зависит от контекста, например в функциональном анализе под операторами понимают отображения, ставящее в соответствие функции другую функцию («оператор на пространстве функций» вместо «функции от функции»).
Некоторые виды операторов:
*
*
* [[преобразование последовательностей]] (свёртки дискретных сигналов, медианный фильтр другие) в [[Дискретная математика|дискретной математике]].
== Основная терминология ==▼
Про оператор <math>A: X \to Y</math> говорят, что он действует из [[множество|множества]] <math>X</math> во множество <math>Y</math>. Оператор может быть не всюду определён на <math>X</math>; тогда говорят о его области определения <math>D_A=D(A)\subset X</math>. Для <math>x\in X</math> результат применения оператора <math>A</math> к <math>x</math> обозначают <math>A(x)</math> или <math>Ax</math>.
▲* [[Функциональный анализ]]: Операторы на пространствах функций (дифференцирование, интегрирование, свертка с ядром, преобразование Фурье).
▲* [[Линейная алгебра]]: Отображения (в особенности линейные) векторных пространств (проекторы, повороты координат, гомотетии, умножения вектора на матрицу).
▲== Основная терминология ==
▲* Если <math>X</math> и <math>Y</math> — [[векторное пространство|векторные пространства]], то в множестве всех операторов из <math>X</math> в <math>Y</math> можно выделить класс [[Линейное отображение|линейных операторов]].
▲* Если <math>X</math> и <math>Y</math> — [[векторное топологическое пространство|векторные топологические пространства]], то в множестве операторов из <math>X</math> в <math>Y</math> естественно выделяется класс [[непрерывный оператор|непрерывных операторов]], а также класс линейных [[ограниченный оператор|ограниченных операторов]] и класс линейных [[компактный оператор|компактных операторов]] (называемые также вполне непрерывными).
== Простые примеры ==
Строка 43 ⟶ 38 :
#: <math>L(cx)=cL(x)</math>;
Из
Оператор <math>L</math> называется ''линейным неоднородным'', если он состоит из линейного однородного оператора с прибавлением некоторого фиксированного элемента:
Строка 54 ⟶ 49 :
: <math>y_k=\sum_{l=1}^n T_{kl}\,x_l</math>.
В более общем случае непрерывных функций двумерная матрица весов принимает вид функции двух переменных <math>K(t,\;\omega)</math>, и называется
: <math>\varphi(t)=\int\limits_V\!K(t,\omega)f(\omega)\,d\omega=K\{f(\omega)\}.</math>
Строка 61 ⟶ 56 :
== Нулевой оператор ==
Оператор <math>O</math>, ставящий в соответствие каждому вектору <math>\mathbf{a}</math> нулевой вектор <math>\mathbf{0}</math>, очевидно, линейный; он называется нулевым оператором<ref>''[[Шилов, Георгий Евгеньевич|Шилов Г. Е.]]'' Математический анализ. Специальный курс.
== Единичный (тождественный) оператор ==
Строка 92 ⟶ 87 :
== Символ линейного дифференциального оператора ==
'''Символ линейного дифференциального оператора''' сопоставляет дифференциальному оператору многочлен, грубо говоря, заменяя композицию частных производных на произведение ассоциированных с ними переменных. Старшие мономы символа оператора (главный символ оператора) отражают качественное поведение решения уравнения в частных производных, соответствующего этому оператору. Линейные эллиптические уравнения в частных производных характеризуются тем, что их главный символ нигде не обращается в 0.
Пусть <math>x=(x_1,\ldots, x_n)</math> и имеются [[мультииндекс]]ы <math>\alpha=(\alpha_1,\ldots, \alpha_n)</math> и <math>\beta=(\beta_1,\ldots, \beta_n)</math>. Тогда положим
: <math>\begin{align}D^\alpha x^\beta&= \frac{\partial^{\vert\alpha\vert}}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_n^{\alpha_n}} x_1^{\beta_1} \cdots x_n^{\beta_n}\\
&= \frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}} x_1^{\beta_1} \cdots
\frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}} x_n^{\beta_n}.\end{align}</math>
Пусть <math>P</math>
: <math>P = p(x,D) = \sum_{|\alpha|\le k} a_\alpha(x) D^\alpha.</math>
Полином <math>p</math>, по определению, является '''полным символом''' <math>P</math>:
: <math>\sigma P(\xi) = p(x,\xi) = \sum_{|\alpha|\le k} a_\alpha\xi^\alpha.</math>
'''Главный символ''' оператора состоит из мономов максимальной степени <math>\sigma_P</math>:
: <math>\sigma_P (\xi) = \sum_{|\alpha|= k} a_\alpha\xi^\alpha</math>
и является частью полного символа оператора, которая преобразуется как тензор при замене координат.
Строка 120 ⟶ 114 :
{{Примечания}}
==
* (1995) Оператор. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия».
| |||