Оператор набла: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Pafnutiy (обсуждение | вклад) |
Kalendar (обсуждение | вклад) оформление |
||
Строка 1:
'''Опера́тор на́бла''' (оператор Гамильтона) — [[Вектор (алгебра)|векторный]] [[дифференциальный оператор]], компоненты которого являются [[частная производная|частными производными]] по координатам. Обозначается символом <math>\nabla</math> ([[набла]]) (в [[Юникод]]е <code>U+2207</code>, ∇).
Для [[Трёхмерное пространство|трёхмерного]] [[Евклидово пространство|евклидова пространства]] в [[Прямоугольная система координат
: <math>\nabla={\partial\over\partial x}\vec{i}+{\partial\over\partial y}\vec{j}+{\partial\over\partial z}\vec{k}</math>,
Строка 11:
: <math>\nabla= \left\{ {\partial\over\partial x}, {\partial\over\partial y}, {\partial\over\partial z} \right\}</math>.
Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции [[векторный анализ|векторного анализа]]: '''grad''' ([[
Под ''n''-мерным оператором набла подразумевается вектор в [[Размерность пространства|''n''-мерном пространстве]]<ref>Эта размерность ''n'', то есть размерность пространства, на поля на (в) котором действует оператор, указывается явно или подразумевается из формулировки соответствующей теории или задачи.</ref> следующего вида:
Строка 17:
: <math>\nabla={\partial\over\partial x_1}\vec{e}_1+{\partial\over\partial x_2}\vec{e}_2+...+{\partial\over\partial x_n}\vec{e}_n</math>,
где <math>\vec{e}_1, \vec{e}_2, ..., \vec{e}_n</math>
Иногда, особенно при начертании от руки, над оператором набла рисуют стрелку: <math>\vec \nabla</math> — чтобы подчеркнуть векторный характер оператора. Смысл такого начертания ничем не отличается от обычного <math>\nabla</math>.
Строка 26:
== Свойства оператора набла ==
Этот оператор приобретает смысл в сочетании со [[скаляр]]ной или векторной функцией, к которой он применяется.
Строка 32 ⟶ 31 :
: <math>\nabla\phi={\partial\phi\over\partial x}\vec{i}+{\partial\phi\over\partial y}\vec{j}+{\partial\phi\over\partial z}\vec{k} = \mathbf{\operatorname{grad}}\,\phi</math>,
который представляет собой [[
Если вектор <math>\nabla</math> [[скалярное произведение|скалярно умножить]] на вектор <math>\vec{a}</math>, получится скаляр
Строка 85 ⟶ 84 :
== Отличия оператора набла от обычного вектора ==
Хотя большинство свойств оператора набла следуют из алгебраических свойств операторов и чисел и становятся вполне очевидными, если рассматривать его как вектор, нужно соблюдать осторожность. Оператор набла не принадлежит тому же пространству, что и обычные векторы, а говоря точнее, скалярное и векторное произведение для него определено с некоторыми отличиями (в основном сводящимися к тому, что — как это обычно подразумевается — оператор действует на те поля, что стоят от него справа, и не действует на стоящие от него слева, из-за чего скалярное и векторное произведение с участием <math>\nabla</math> не коммутативны и не антикоммутативны, как это свойственно для таких произведений обычных векторов), таким образом, оператор набла не
'''он не [[Коммутативность|коммутирует]] с векторами''':
Строка 117 ⟶ 116 :
В 1853 году [[Гамильтон, Уильям Роуэн|В. Р. Гамильтон]] ввёл этот оператор и придумал для него символ <math>\nabla</math> в виде перевёрнутой греческой буквы Δ (дельта). У Гамильтона острие символа указывало налево, позже в работах [[Тэт, Питер Гатри|П. Г. Тэта]] символ приобрёл современный вид. Гамильтон назвал этот символ словом «атлед» (слово «дельта», прочитанное наоборот), однако позднее английские учёные, в том числе [[Хевисайд, Оливер|О. Хевисайд]], стали называть этот символ «на́бла» из-за сходства с остовом древнеассирийского музыкального инструмента ''наблы'', а оператор получил название ''оператора Гамильтона'', или ''оператора набла''<ref>''«Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля»'', В. Р. Гаврилом, Е. Е. Иванова, В. Д. Морозова. Математика в техническом университете VII, издательство [[Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана|МГТУ имени Н. Э. Баумана]].</ref>.
Существует мнение, что <math>\nabla</math> — буква [[Финикийский алфавит|финикийского алфавита]], происхождение которой связано с музыкальным инструментом типа арфы,<ref>О.
== Примеры ==
Строка 124 ⟶ 123 :
== См. также ==
* [[
== Примечания ==
{{примечания}}
{{Дифференциальное исчисление}}
| |||