Закон Бернулли: различия между версиями

Уравнение Бернулли может быть выведено и из [[Уравнение движения сплошной среды|уравнения движения жидкости]]{{#tag:ref|«…[Вывод теоремы Бернулли из уравнения энергии] обедняет содержание теоремы Бернулли … Интеграл Бернулли, вообще говоря, не зависит от уравнения энергии, хотя действительно совпадает с ним для изоэнтропического и адиабатического движения совершенного газа»{{sfn|''Бэтчелор Дж.'' Введение в динамику жидкости|1973|с=208|loc=Примечание Г. Ю. Степанова}}.|group=K}}{{#tag:ref|«Два … пути получения уравнения Бернулли не эквивалентны. При энергетическом выводе нет необходимости в предположении об изэнтропичности течения. При интегрировании уравнения движения интегралы Бернулли получаются не только вдоль линий тока, но и вдоль вихревых линий»{{sfn|''Гольдштейн Р. В., Городцов В. А.'' Механика сплошных сред|2000|с=104}}.|group=K}}. При этом течение предполагается стационарным и [[баротропность|баротропным]]. Последнее означает, что плотность жидкости или газа не обязательно постоянна (как у предполагавшейся ранее несжимаемой жидкости), но является функцией только давления: <math>\rho=\rho(p)</math>, что позволяет ввести ''функцию давления''{{sfn|''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа|2003|loc=§23, уравнение (9)}} <math>{\calmathcal P} = \int{\frac{\mathrm{d}p}{\rho(p)}}.</math> В этих предположениях величина

: <math>\frac {v^2}{2} + gh + {\calmathcal P} = \mathrmtext{const}</math>

: <math>\frac{\partial \vec v}{\partial t}+\mathrmoperatorname{grad}\left(\frac{v^2}{2}\right)+\left[\mathrm{rot}\,\vec v , \vec v\right]=-\frac1\rho\mathrmoperatorname{grad}\,p+\vec{F}</math>

В силу сделанных предположений <math>\frac{\partial \vec v}{\partial t}=0,</math> <math>\frac{\mathrmoperatorname{grad}\,p}{\rho}=\mathrmoperatorname{grad}\,{\cal P}</math> и <math>\vec{F}=-\mathrmoperatorname{grad}\,\varphi</math> (в частном случае однородной силы тяжести её потенциал равен <math>\varphi=g\,h</math>), так что уравнение Громеки — Лэмба принимает вид:

: <math> \mathrmoperatorname{grad}\left(\frac{v^2}{2}+\varphi+{\cal P}\right)+\left[\mathrm{rot}\,\vec v , \vec v\right]=0 </math>

Для [[потенциальное векторное поле|безвихревых]] баротропных течений, скорость которых может быть выражена в виде градиента потенциала скорости <math>\vec v=\mathrmoperatorname{grad}\psi</math>, интеграл Бернулли в виде <math>\frac{\partial\psi}{\partial t}+\frac {\left(\mathrmoperatorname{grad}\psi\right)^2}{2}+ gh+ {\cal P} =\mathrm{const}</math>{{#tag:ref|В русскоязычной литературе интеграл Бернулли для потенциальных течений несжимаемой или баротропной жидкости известен как [[интеграл Коши — Лагранжа]]{{sfn|''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа|2003|loc=§42. Интеграл Лагранжа — Коши}}|group=K}} сохраняется также в нестационарных течениях, причём постоянная в правой части имеет одинаковое значение для всего течения{{sfn|''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа|2003|loc=§42. Интеграл Лагранжа — Коши}}.

: <math>p,\, \rho</math> — давление и плотность газа,

: <math>p_0,\, \rho_0</math> — условно выбранные постоянные (одинаковые для всего течения) значения давления и плотности.

С помощью полученной формулы находят скорость газа, вытекающего из сосуда с высоким давлением через малое отверстие. Удобно давление и плотность газа в сосуде, скорость газа в котором равна нулю, принять за <math>p_0,\, \rho_0,</math> тогда скорость истечения выражается через внешнее давление <math>p</math> по формуле [[Сен-Венан, Адемар Жан-Клод Барре де|Сен-Венана]] — Ванцеля{{sfn|''Лойцянский Л. Г.'' Механика жидкости и газа|2003|loc=§24, уравнение (31)}}:

: <math>v^2=\frac{2\gamma}{\gamma-1}\frac{p_0}{\rho_0}\left[1-\left(\frac{p}{p_0}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}\right].</math>