Восьмёрка (теория узлов): различия между версиями

В [[Теория узлов|теории узлов]] '''восьмёрка''' ('''четырёхкратный узел''' или '''узел Листинга''')  — это единственный узел с [[Число пересечений (теория узлов)|числом пересечений]] четыре. Это наименьшее возможное число пересечений, за исключением [[Тривиальный узел|тривиального узла]] и [[Трилистник (узел)|трилистника]]. Восьмёрка является [[Простой узел (теория узлов)|простым узлом]].

: <math> \begin{align}

где ''t''  — вещественная переменная.

Восьмёрка является [[Простой узел (теория узлов)|простым]], {{не переведено 3|Альтернирующий[[Альтернированный узел|альтернирующим||alternating knot}}альтернированным]], {{не переведено 3|Рациональный узел|рациональным||rational knot}} узлом с соответствующим значением 5/2. Он является также [[Хиральный узел|ахиральным узлом]]. Восьмёрка является {{не переведено 3|Расслоённый узел|расслоённым||fibered knot}} узлом. Это следует из другого, менее простого (но более интересного) представления узла:

# Узел является ''однородной''<ref>Коса называется однородной, если любой генератор <math>\sigma_i</math> либо всегда положителен, либо всегда отрицателен.</ref> [[Теория кос|замкнутой косой]] (а именно, замыканием косы с 3 нитями σ₁σ₂⁻¹σ₁σ₂⁻¹), а теорема {{нп3|Сталлингс, Джон|Джона Сталлингса||John_R._Stallings}} показывает, что любая однородная коса является расслоённой.

# Узел является зацеплением в точке (0,0,0,0)  — изолированной критической точки вещественного полиномиального отображения <var>F</var>: '''R'''⁴→'''R'''² так, что (согласно теореме [[Милнор, Джон Уиллард|Джона Милнора]]) {{не переведено 3|Отображение Милнора|отображение Милнора||Milnor map}} <var>F</var> является расслоением. Бернард Перрон нашёл первую такую функцию <var>F</var> для этого узла, а именно:

Узел «восьмёрка» играл исторически важную роль (и продолжает её играть) в теории {{не переведено 3|3-многообразие|3-многообразий||3-manifold}}. Где-то в середине 1970-х, [[Тёрстон, Уильям Пол|Уильям Тёрстон]] показал, что восьмёрка является {{не[[Гиперболическое переведено 3|Гиперболический узелзацепление|гиперболическим узлом||hyperbolic knot}}]] путём разложения его дополнения на два идеальных гиперболических тетраэдра (Роберт Райли и Троэльс Йоргенсен, работая независимо друг от друга, до этого показали, что восьмёрка является гиперболической в другом смысле). Эта конструкция, новая по тем временам, привела его ко многим сильным результатам и методам. Например он смог показать, что все, кроме десяти, {{не переведено 3|Хирургия Дена|хирургий Дена||Dehn surgery}} на узле «восьмёрка» дают {{не переведено 3|Хакеново многообразие|нехакеновы||Haken manifold}}, не допускающие [[расслоение Зейферта]] {{не переведено 3|Разложение на простые многообразия|неразложимые||Prime_decomposition_(3-manifold)}} 3-многообразия. Это был первый из таких результатов. Много других было открыто путём обобщения построения Тёрстона для других узлов и зацеплений.

Восьмёрка является также гиперболическим узлом с наименьшим возможным [[Гиперболический объём|объёмом]] 2,029&nbsp;88... 88…, согласно работе Чо Чунь (''Chun Cao'') и Роберта Майерхофа (''Robert Meyerhoff''). С этой точки зрения восьмёрку можно рассматривать как самый простой гиперболический узел. Дополнение восьмёрки является [[Накрытие|двойным накрытием]] [[Многообразие Гизекинга|многообразия Гизекинга]], которое имеет наименьший объём среди некомпактных гиперболических 3-многообразий.

|[[FileФайл:Figure8knot-math-square.svg|thumb|Простое прямоугольное изображение узла «восьмёрка».]] || [[FileФайл:Figure8knot-rose-limacon-curve.svg|thumb|Симметричное изображение, полученное из параметрических уравнений.]] || [[FileФайл:Superfície - bordo nó figura-oito.jpg|thumb|Математическая поверхность Иллюстрируя восьмерку узла]]

: <math>\Delta(t) = -t + 3 - t^{-1},\ </math>

: <math>\nabla(z) = 1-z^2,\ </math><ref>[http://katlas.math.toronto.edu/wiki/4_1 4_1] Knot Atlas</ref>

: <math>V(q) = q^2 - q + 1 - q^{-1} + q^{-2}.\ </math>

* {{статья

}} {{MathSciNet|id=1799796}}

* {{статья

}} {{MathSciNet|id=1869847}}

* {{статья

* {{статья

* {{статья

* {{книга

* [http://katlas.math.toronto.edu/wiki/4_1 4_1] Knot Atlas

* {{MathWorld|title=Figure Eight Knot|urlname=FigureEightKnot}}