Открыть главное меню

В теории узлов восьмёрка (четырёхкратный узел или узел Листинга) — это единственный узел с числом пересечений четыре. Это наименьшее возможное число пересечений, за исключением тривиального узла и трилистника. Восьмёрка является простым узлом. Впервые рассмотрен Листингом в 1847 году.

Восьмёрка
Blue Figure-Eight Knot.png
Обозначения
Конвея [22]
Александера–Бриггса[en] 41
Даукера[en] 4, 6, 8, 2
Многочлены
Александера
Джонса
Конвея
Инварианты
Инвариант Арфа[en] 1
Длина косы 4
Число нитей 3
Число мостов 2
Число плёнок[en] 2
Число пересечений 4
Род 1
Гиперболический объём 2.02988
Число отрезков 7
Число развязывания 1
Свойства
Простой, гиперболический, альтернированный, полностью амфихиральный, расслоенный[en], скрученный
Узел «Восьмёрка»

Содержание

Происхождение названияПравить

Название происходит от бытового узла восьмёрка на верёвке, у которой концы соединены.

ОписаниеПравить

Простое параметрическое представление узла «восьмёрка» задаётся множеством точек (x,y,z), для которых

 

где t — вещественная переменная.

Восьмёрка является простым, альтернированным, рациональным (англ.) узлом с соответствующим значением 5/2. Он является также ахиральным узлом. Восьмёрка является расслоённым (англ.) узлом. Это следует из другого, менее простого (но более интересного) представления узла:

  1. Узел является однородной[1] замкнутой косой (а именно, замыканием косы с 3 нитями σ1σ2−1σ1σ2−1), а теорема Джона Сталлингса (англ.) показывает, что любая однородная коса является расслоённой.
  2. Узел является зацеплением в точке (0,0,0,0) — изолированной критической точки вещественного полиномиального отображения F: R4R2 так, что (согласно теореме Джона Милнора) отображение Милнора (англ.) F является расслоением. Бернард Перрон нашёл первую такую функцию F для этого узла, а именно:
 

где

 .

Математические свойстваПравить

Узел «восьмёрка» играл исторически важную роль (и продолжает её играть) в теории 3-многообразий (англ.). Где-то в середине 1970-х, Уильям Тёрстон показал, что восьмёрка является гиперболическим узлом путём разложения его дополнения на два идеальных гиперболических тетраэдра (Роберт Райли и Троэльс Йоргенсен, работая независимо друг от друга, до этого показали, что восьмёрка является гиперболической в другом смысле). Эта конструкция, новая по тем временам, привела его ко многим сильным результатам и методам. Например он смог показать, что все, кроме десяти, хирургий Дена (англ.) на узле «восьмёрка» дают нехакеновы (англ.), не допускающие расслоение Зейферта неразложимые (англ.) 3-многообразия. Это был первый из таких результатов. Много других было открыто путём обобщения построения Тёрстона для других узлов и зацеплений.

Восьмёрка является также гиперболическим узлом с наименьшим возможным объёмом 2,029 88…, согласно работе Чо Чунь (Chun Cao) и Роберта Майерхофа (Robert Meyerhoff). С этой точки зрения восьмёрку можно рассматривать как самый простой гиперболический узел. Дополнение восьмёрки является двойным накрытием многообразия Гизекинга, которое имеет наименьший объём среди некомпактных гиперболических 3-многообразий.

Узел «восьмёрка» и кружевной узел (−2,3,7) (англ.) являются двумя гиперболическими узлами, для которых известно более шести особых хирургий, хирургий Дена, приводящих к негиперболическим 3-многообразиям. Они имеют 10 и 7 соответственно. Теорема Лэкенби (Lackenby) и Майерхофа, доказательство которой опирается на теорему геометризации и использование компьютерных вычислений, утверждает, что 10 является максимальным возможным числом особых хирургий для любых гиперболических узлов. Однако до сих пор не установлено, является ли восьмёрка единственным узлом, на которой достигается граница 10. Хорошо известная гипотеза утверждает, что нижняя граница (за исключением двух упомянутых узлов) равна 6.

 
Простое прямоугольное изображение узла «восьмёрка».
 
Симметричное изображение, полученное из параметрических уравнений.
 
Математическая поверхность Иллюстрируя восьмерку узла

ИнвариантыПравить

Многочлен Александера восьмёрки равен

 

многочлен Конвея равен

 [2]

а многочлен Джонса равен

 

Симметрия относительно   и   в многочлене Джонса отражает ахиральность восьмёрки.

ПримечанияПравить

  1. Коса называется однородной, если любой генератор   либо всегда положителен, либо всегда отрицателен.
  2. 4_1 Knot Atlas

ЛитератураПравить

  • Ian Agol. Bounds on exceptional Dehn filling // Geometry & Topology. — 2000. — Т. 4. — С. 431–449. MR: 1799796
  • Chun Cao, Robert Meyerhoff. The orientable cusped hyperbolic 3-manifolds of minimum volume // Inventiones Mathematicae. — 2001. — Т. 146, вып. 3. MR: 1869847
  • Marc Lackenby. Word hyperbolic Dehn surgery // Inventiones Mathematicae. — 2000. — Т. 140, вып. 2. — С. 243–282. MR: 1756996
  • The maximal number of exceptional Dehn surgeries. — arXiv:0808.1176.
  • Robion Kirby. Problems in low-dimensional topology. (see problem 1.77, due to Cameron Gordon, for exceptional slopes)
  • William Thurston. The Geometry and Topology of Three-Manifolds. — Princeton University lecture notes (1978–1981)..

СсылкиПравить