Открыть главное меню

В теории узлов хиральный узел — это узел, который не эквивалентен своему зеркальному отражению. Ориентированный узел, эквивалентный своему зеркальному отражению, называется амфихиральным узлом или ахиральным узлом. Хиральность узла является инвариантом узла. Хиральность узлов можно далее классифицировать в зависимости от того, обратим он или нет.

Существует только 5 типов симметрий узлов, определяемых хиральностью и обратимостью — полностью хиральный, обратимый, положительно амфихиральный необратимый, отрицательно амфихиральный необратимый и полностью амфихиральный обратимый [1].

История вопросаПравить

Хиральность некоторых узлов давно подозревалась и доказана Максом Деном в 1914 году. П. Г. Тэт высказал гипотезу, что все амфихиральные узлы имеют чётное число пересечений, но Морвен Тислуэйт[en] в 1998 году нашёл контрпример[2]. Однако гипотеза Тэйта доказана для простых альтернированных узлов[3].

Число узлов каждого вида хиральности для каждого числа пересечений
Число пересечений 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 OEIS sequence
Хиральные узлы 1 0 2 2 7 16 49 152 552 2118 9988 46698 253292 1387166 N/A
Двусторонние узлы 1 0 2 2 7 16 47 125 365 1015 3069 8813 26712 78717 A051769
Полностью хиральные узлы 0 0 0 0 0 0 2 27 187 1103 6919 37885 226580 1308449 A051766
Амфихиральные узлы 0 1 0 1 0 5 0 13 0 58 0 274 1 1539 A052401
Положительно амфихиральные узлы 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 6 0 65 A051767
Отрицательно амфихиральные узлы 0 0 0 0 0 1 0 6 0 40 0 227 1 1361 A051768
Полностью амфихиральные узлы 0 1 0 1 0 4 0 7 0 17 0 41 0 113 A052400

Простейший хиральный узел — трилистник, хиральность которого показал Макс Ден. Все торические узлы хиральны. Многочлен Александера не может определить хиральность узла, а вот многочлен Джонса в некоторых случаях может. Если Vk(q) ≠ Vk(q−1), то узел хирален, однако обратное не обязательно верно. Многочлен HOMFLY[en] ещё лучше распознаёт хиральность, но пока не известно полиномиального инварианта узла, который бы полностью определял хиральность[4].

Двусторонний узелПравить

Обратимый хиральный узел называется двусторонним[5]. Среди примеров двусторонних узлов — трилистник.

Полностью хиральный узелПравить

Если узел не эквивалентен ни своему обратному, ни своему зеркальному образу, он называется полностью хиральным, пример — узел 9 32[5].

Амфихиральный узелПравить

 
восьмёрка является простейшим амфихиральным узлом.

Амфихиральный узел — это узел, имеющий автогомеоморфизм α 3-сферы, который обращает ориентацию и фиксирует узел как множество.

Все амфихиральные альтернированные имеют чётное число пересечений. Первый амфихиральный узел с нечётным числом пересечений, а именно с 15 пересечениями, нашёл Хосте (Hoste) и др.[3]

Полная амфихиральностьПравить

Если узел изотопен своему обратному и своему зеркальному образу, его называют полностью амфихиральным. Простейшим узлом с этим свойством является восьмёрка.

Положительная амфихиральностьПравить

Если автогомеоморфизм α сохраняет ориентацию узла, говорят о положительной амфихиральности. Это эквивалентно изотопичности узла своему зеркальному отражению. Никакой из узлов с числом пересечений меньшим двенадцати не является положительно амфихиральным[5].

Отрицательная амфихиральностьПравить

 
Первый отрицательно амфихиральный узел.

Если автогомеоморфизм α обращает ориентацию узла, говорят об отрицательной амфихиральности. Это эквивалентно изотопичности узла обратному зеркальному отражению. Узел с этим свойством с минимальным числом пересечением — это 817[5].

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks. The first 1,701,936 knots // The Mathematical Intelligencer. — 1998. — Т. 20, вып. 4. — DOI:10.1007/BF03025227. Архивировано 15 декабря 2013 года.