Открыть главное меню
Трилистник без симметрии 3-его порядка с помеченными пересечениями.
Таблица всех простых узлов с семью или меньше пересечениями (зеркальные варианты не включены).

В теории узлов число пересечений узла — это наименьшее число пересечений на любой диаграмме узла. Число пересечений является инвариантом узла.

ПримерыПравить

В качестве примера: тривиальный узел имеет нулевое число пересечений, число пересечений трилистника равно трём, а число пересечений восьмёрки равно четырём. Больше нет узлов с числом пересечений четыре и меньше, и есть только два узла с числом пересечений пять, но число узлов с конкретными числами пересечений быстро растёт по мере роста числа пересечений.

ТаблицыПравить

Таблицы простых узлов традиционно индексируются числом пересечений с дополнительным описанием, какой именно узел из множества узлов с заданным числом пересечений имеется ввиду (это упорядочение не базируется на каких-либо свойствах, за исключением торических узлов, для которых скрученные узлы перечисляются первыми). Список начинается с 31 (трилистник), 41 (восьмёрка), 51, 52, 61, и так далее. Этот порядок существенно не изменился со времён Тэта, опубликовавшего таблицу в 1877 году[1].

АддитивностьПравить

Имеется очень малый прогресс в понимании поведения числа пересечений при элементарных операциях на узлах. Большой открытый вопрос — является ли число пересечений аддитивной по отношению к операции конкатенации. Также ожидается, что сателлитный узел узла K будет иметь большее число пересечений, чем K, но это не доказано.

Аддитивность числа пересечений конкатенации узлов доказана для специальных случаев, например, если исходные узлы являются альтернированными[2] или если исходные узлы являются торическими[3][4]. Марк Лакенбай дал доказательство, что существует константа N > 1, такая что  , но его метод, использующий нормальные поверхности[en], не может улучшить N до 1[5].

Приложение в биоинформатикеПравить

Имеется странная связь между числом пересечений узла и физическим поведением узлов ДНК. Для простых узлов ДНК число пересечений является хорошим предсказателем относительной скорости узла ДНК электрофореза геля агарозы. В основном, более высокое число пересечений приводит к большей относительной скорости[6].

Связанные инвариантыПравить

Имеются связанные понятия среднего числа пересечений[en] и асимптотического числа пересечений. Оба этих понятия определяют границы стандартного числа пересечений. Есть гипотеза, что асимптотическое число пересечений равно числу пересечений.

Другие числовые инварианты узла включают число мостов[en], коэффициент зацепления, число отрезков и число распутывания[en].

ПримечанияПравить

  1. Tait, 1898, с. 273—347.
  2. Adams, 2004, с. 69.
  3. Gruber, 2003.
  4. Diao, 2004, с. 857–866.
  5. Lackenby, 2009, с. 747—768.
  6. Jonathan, 1996, с. 39—58.

ЛитератураПравить