Торический узел

(3,7)-торический узел.
Приз EureleA в виде (2,3)-торического узла.
(2,8)-торическое зацепление

Торический узел — специальный вид узлов, лежащих на поверхности незаузлённого тора в .

Торическое зацепление — зацепление, лежащее на поверхности тора. Каждый торический узел определяется парой взаимно простых целых чисел и . Торическое зацепление возникает, когда и не взаимно просты (в этом случае число компонент равно наибольшему общему делителю и ). Торический узел является тривиальным тогда и только тогда, когда либо , либо равны 1 или −1. Простейшим нетривиальным примером является (2,3)-торический узел, известный также как трилистник.

(2,−3)-торический узел, известный также как левый трилистник

Геометрическое представлениеПравить

Торический узел можно представить геометрически различными способами, топологически эквивалентными, но геометрически различными.

Обычно используется соглашение, что  -торический узел вращается   раз вокруг круговой оси тора и   раз вокруг оси вращения тора. Если   и   не взаимно просты, то получается торическое зацепление, имеющее более одной компоненты. Соглашения о направлении, в котором нити вращаются вокруг тора, также различны, чаще всего предполагается правый винт для  [1][2][3].

 -торический узел может быть задан параметризацией[en]:

   ,
   ,
 ,

где   и  . Он лежит на поверхности тора, задаваемого формулой  цилиндрических координатах).

Возможны и другие параметризации, поскольку узлы определены с точностью до непрерывной деформации. Примеры для (2,3)- и (3,8)-торических узлов можно получить, приняв  , а в случае (2,3)-торического узла путём вычитания   и   из вышеприведённых параметризаций   и  .

СвойстваПравить

 
Диаграмма (3,−8)-торического узла.

Торический узел является тривиальным тогда и только тогда, когда либо  , либо   равны 1 или −1[2][3].

Каждый нетривиальный торический узел является простым и хиральными.

 -торический узел эквивалентен  -торическому узлу[1][3].  -торический узел является обратным (зеркальным отражением)  -торического узла[3].  -торический узел эквивалентен  -торическому узлу, за исключением ориентации.

 
(3, 4) торический узел на развороте поверхности тора и слово косы

Любой  -торический узел может быть построен из замкнутой косы с   нитями. Подходящее слово косы[4]:

 .

Эта формула использует соглашение, что генераторы косы используют правые вращения[2][4][5][6].

Число пересечений  -торического узла с   задаётся формулой:

 .

Род торического узла с   равен:

 

Многочлен Александера торического узла равен[1][4]:

 .

Полином Джонса (правовинтовой) торического узла задаётся формулой:

 .

Дополнение торического узла на 3-сфере — это многообразие Зейферта.

Пусть   —  -мерный дурацкий колпак[en] с диском, удалённым внутри,   —  -мерный дурацкий колпак с внутренним удалённым диском, и   — факторпространство, полученное отождествлением   и   вдоль границы окружности. Дополнение  - торического узла является деформационным ретрактом пространства  . Таким образом, группа узла торического узла имеет представление:

 .

Торические узлы — это единственные узлы, чьи группы узла имеют нетривиальные центры (которые являются бесконечными циклическими группами, образованные элементом   из этого представления).

СписокПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Charles Livingston. Knot theory. — Mathematical Association of America, 1993. — ISBN 0-88385-027-3.
  • Kunio Murasugi. Knot theory and its applications. — Birkhäuser, 1996. — ISBN 3-7643-3817-2.
  • Akio Kawauchi. A survey of knot theory. — Birkhäuser, 1996. — ISBN 3-7643-5124-1.
  • W. B. R. Lickorish. An introduction to knot theory. — Springer, 1997. — ISBN 0-387-98254-X.
  • J. S. Birman, T. E. Brendle. Handbook of knot theory / W. Menasco, M. Thistlethwaite. — Elsevier, 2005. — ISBN 0-444-51452-X..
  • J. Milnor. Singular Points of Complex Hypersurfaces. — Princeton University Press, 1968. — ISBN 0-691-08065-8.

СсылкиПравить