Открыть главное меню
Пример косы с тремя дугами.

Теория кос — раздел топологии и алгебры, изучающий косы и группы кос, составленные из их классов эквивалентности.

Содержание

Определение косыПравить

Коса из   нитей — объект, состоящий из двух параллельных плоскостей   и   в трёхмерном пространстве  , содержащих упорядоченные множества точек   и  , и из   непересекающихся между собой простых дуг  , пересекающих каждую параллельную плоскость   между   и   однократно и соединяющих точки   с точками  .

Обычно считается, что точки   лежат на прямой   в  , а точки   на прямой   в  , параллельной  , причем   расположены под   для каждого  .

Косы изображаются в проекции на плоскость, проходящую через   и  , эта проекция может быть приведена в общее положение так, что имеется только конечное число двойных точек, попарно лежащих в разных уровнях, и пересечения трансверсальны.

Группа косПравить

Во множестве всех кос с n нитями и с фиксированными   вводится отношение эквивалентности. Оно определяется гомеоморфизмами  , где   — область между   и  , тождественными на  . Косы   и   эквивалентны, если существует такой гомеоморфизм  , что  .

Классы эквивалентности, далее также называемые косами, образуют группу кос  . Единичная коса — класс эквивалентности, содержащий косу из n параллельных отрезков. Коса  , обратная косе  , определяется отражением в плоскости  

Нить косы соединяет   с   и определяет подстановку, элемент симметрической группы  . Если эта подстановка тождественна, то коса называется крашеной (или чистой) косой. Это отображение задаёт эпиморфизм   на группу   перестановок n элементов, ядром которого является подгруппа  , соответствующая всем чистым косам, так что имеется короткая точная последовательность

 

См. такжеПравить

ЛитератураПравить