В этом глоссарии приведены определения основных терминов, использующихся в теории кос. См. также глоссарий теории узлов. Курсивом выделены ссылки внутри глоссария.
А
править- Альтернированная диаграмма
- Диаграмма, при движении вдоль каждой компоненты которой проходы чередуются с переходами. Или, что то же самое, диаграмма, любая дуга которой является мостом единичной длины.
- Альтернированная коса
- Коса, имеющая альтернированную диаграмму.
- Антье Деорнуа
- Целочисленный инвариант кос, принимающий на данной косе из нитей такое значение , что , где — фундаментальная коса из того же числа нитей, а — порядок Деорнуа[1]. Антье Деорнуа косы обычно обозначается символами и .
- Артиновское слово
- Слово в алфавите из образующих Артина и их обратных[2][3]. Представляет собой кодировку диаграмм кос.
- Также используются термины косо́вое слово[4], слово в группе кос и слово-коса[5].
Б
править- Бруннова коса
- Коса, которая становится тривиальной при удалении любой её нити.
Г
править- Геометрическая коса
- 1. Такое непрерывное инъективное отображение дизъюнктного объединения конечного числа отрезков в подмножество трёхмерного евклидова пространства , ограниченное двумя параллельными плоскостями и , что последняя координата образа каждой точки совпадает с её координатой на содержащем её отрезке, т. е. , где и , причем функция отображает начало отрезка с номером в точку , а объединение концов таких отрезков — в множество .
- 2. Образ подобного отображения. Иными словами, подмножество пространства , гомеоморфное дизъюнктному объединению конечного числа отрезков и пересекающее каждую плоскость , где , по ровно точкам, причем пересечение с равно , а пересечение с равно [6].
- Также используется термин геометрическая коса из нитей.
- Группа кос
- Группа , состоящая из кос из заданного числа нитей с операцией произведения. Её нейтральным элементом является тривиальная коса из нитей.
- Также используется термин группа кос Артина.
- Группа кос топологического пространства
- Фундаментальная группа конфигурационного пространства данного топологического пространства .
- Группа крашеных кос
- Подгруппа группы кос, состоящая из всех крашеных кос.
- Также используется термин группа чистых кос.
- Группа крашеных кос топологического пространства
- Фундаментальная группа конфигурационного пространства данного топологического пространства .
Д
править- Движение Маркова
- Один из двух определённых типов преобразований кос[7][8]. Первое движение Маркова — сопряжение. Второе движение Маркова — стабилизация и дестабилизация.
- Также используются термины марковское движение и преобразование Маркова[9].
- Диаграмма
- 1. Подмножество евклидовой плоскости , получающееся из некоторой регулярной плоской проекции определёнными разрывами в её двойных точках[10]. А именно, разрывами той ветви маленькой окрестности каждой двойной точки, прообраз в которой имеет меньшую третью координату. Такую ветвь называют проход или нижняя ветвь, а оставшуюся — переход или верхняя ветвь[11].
- 2. Класс эквивалентности регулярных плоских проекций, где эквивалентными называются такие проекции, которые получаются друг из друга плоской изотопией[12].
- Также используется термин плоская диаграмма.
- Дуга диаграммы
- Компонента связности диаграммы косы.
З
править- Задача распознавания
- Задача разрешимости, заключающаяся в определении того, являются ли изотопными две заданные некоторым образом геометрические косы[13].
- Закрученность
- Инвариант, принимающий на данной косе значение
- Также используются термины коэффициент дробного скручивания Дена (от англ. fractional Dehn twist coefficient), число переноса и число вращения[14].
- Замкнутая коса
- Класс эквивалентности всех кос относительно отношения сопряженности[3][15][16].
- Замыкание Александера
- Определённое отображение из множества всех кос в множество зацеплений.
- Зеркальный образ
- 1. Диаграмма, получающееся из данной заменой типов всех перекрёстков, т. е. заменой проходов на переходы и наоборот без изменения тени диаграммы.
- 2. Коса, получающаяся из геометрического представителя данной косы отражением относительно плоскости .
- Также используется термин зеркальное отражение.
И
править- Изотопность геометрических кос
- Две геометрические косы из одинакового числа нитей называются изотопными, если выполняется одно из следующих эквивалентных[10][17] условий:
- Существует объемлющая изотопия, переводящая первую геометрическую косу во вторую.
- Между соответствующими отображениями существует такая гомотопия , параметризованная числом , что , и для каждого отображение является геометрической косой.
- Между соответствующими отображениями существует такая гомотопия , параметризованная числом , что , и для каждого отображение является инъективным, причем и .
- Инвариант
- Произвольная функция, действующая из множества кос. Или, что то же самое, функция, действующая из множества геометрических кос, принимающая одинаковые значения на изотопных элементах.
- Инвариант конечного типа
- Элемент определённого семейства инвариантов[18].
- Также используются термины инвариант конечного порядка, инвариант Васильева — Гусарова и инвариант Гусарова — Васильева.
К
править- Квазиположительная коса
- Коса, представимая в виде произведения сопряженных к положительным образующим Артина[19].
- Компонента диаграммы
- Объединение дуг диаграммы, соответствующих некоторой нити косы.
- Также используется термин нить диаграммы.
- Конфигурационное пространство
- 1. Пространство упорядоченных наборов различных точек топологического пространства :
- для всех .
- ,
М
править- Минимальная коса
- Коса, имеющая наименьшее число нитей среди всех кос, имеющих то же самое замыкание Александера[24].
- Мост диаграммы
- Дуга диаграммы, содержащая хотя бы один перекрёсток. Длина моста — количество перекрёстков, которое он содержит.
- Моноид положительных кос
- Моноид , состоящий из положительных кос из заданного числа нитей с операцией произведения. Его нейтральным элементом является тривиальная коса из нитей.
Н
править- Нить
- 1. Сужение геометрического представителя данной косы на один из отрезков .
- 2. Компонента связности геометрического представителя данной косы.
- Начало нити — её точка пересечения с плоскостью . Конец нити — её точка пересечения с плоскостью . Номер нити — натуральное число такое, что её началом является точка .
- Количество нитей косы, также известное как её индекс[3], является инвариантом.
- Также используется термин компонента косы.
О
править- Объемлющая изотопия
- Такое непрерывное семейство гомеоморфизмов , параметризованное числом , что — тождественное отображение, а каждый гомеоморфизм тождествен на объединении . Под непрерывностью семейства имеется в виду то, что отображение , заданное правилом , является непрерывным.
- Путь, заданный формулой , называется траекторией движения точки под действием объемлющей изотопии .
- Говорят, что объемлющая изотопия переводит подмножество в подмножество , если .
- Образующая Артина
- 1. Коса с нитями, имеющая диаграмму с ровно одним перекрёстком.
- 2. Аналогично определению выше, но перекрёсток предполагается положительным.
- Символом обозначается образующая Артина, заданная диаграммой, на которой нити с номерами и образуют положительный перекрёсток, а символом обозначается образующая Артина, заданная диаграммой, на которой нити с номерами и образуют отрицательный перекрёсток.
- В случае кос также используется термин положительная образующая Артина, а в случае кос — обратная или отрицательная образующая Артина. Также используются термины элементарная коса[25][26] и артиновская образующая[27].
- Образующая Маркова
- Коса из нитей, заданная для таких и , что , следующим артиновским словом[28]:
- .
П
править- Перекрёсток диаграммы
- 1. Участок диаграммы, полученный в результате разрыва нижней ветви на маленькой окрестности некоторой двойной точки регулярной плоской проекции.
- 2. То же, что и двойная точка регулярной плоской проекции.
- Каждый перекрёсток имеет один из двух типов. Положительный перекрёсток — такой, что его нижняя ветвь (проход) указывает налево от его верхней ветви (перехода) относительно ориентации нитей, ведущих от их начала к концу. Отрицательный перекрёсток — противоположное понятие.
- Переключение перекрёстка
- 1. Преобразование диаграмм, заключающееся в смене типа некоторого перекрёстка диаграммы (прохода на переход и наоборот).
- 2. Преобразование кос, заключающееся в смене типа некоторого перекрёстка на некоторой диаграмме данной косы.
- Также используются термины замена перекрёстка и переброска.
- Перестановочная коса
- Коса, имеющая положительную диаграмму, на которой любые две нити имеют не более одного общего перекрёстка.
- Также используется термин приведённая коса[29].
- Перестановка косы
- Такая биекция , что концом нити с номером некоторого геометрического представителя данной косы является точка .
- Также используются термины перестановка, соответствующая косе[30] и перестановка, ассоциированная с косой[31].
- Периодическая коса
- Коса, которая удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:
- Она сопряжена некоторой целой степени одной из кос или , где — количество нитей[32].
- Некоторая её целая степень является целой степенью центральной косы[33].
- Плетёное замыкание
- Определённое отображение из множества всех кос в множество зацеплений (от англ. plat — плетение).
- Плоская изотопия
- Такое непрерывное семейство гомеоморфизмов , параметризованное числом , что — тождественное отображение, а каждый гомеоморфизм тождествен на объединении . Под непрерывностью семейства имеется в виду то, что отображение , заданное правилом , является непрерывным.
- Путь, заданный формулой , называется траекторией движения точки под действием плоской изотопии .
- Говорят, что плоская изотопия переводит подмножество в подмножество , если .
- Плоская проекция
- Образ геометрической косы относительно ортогональной проекции , заданной формулой .
- Ветвь плоской проекции — её подмножество, являющееся образом связного подмножества геометрической косы.
- Кратностью или порядком точки на плоской проекции называется мощность её прообраза относительно ортогональной проекции . Плоская проекция называется регулярной, если кратность каждой её точки не превосходит двух (т. е. равна единице или двойке), причем двойных точек (т. е. точек кратности два) лишь конечное число, и каждая из них представляет собой трансверсальное пересечение.
- Полигональная геометрическая коса
- Геометрическая коса, являющаяся объединением конечного числа ломаных.
- Положительная диаграмма
- Диаграмма, каждый перекрёсток которой является положительным. Иными словами, диаграмма, заданная артиновским словом в положительных образующих Артина[34][19].
- Положительная коса
- Коса, имеющая положительную диаграмму.
- Положительная по Деорнуа диаграмма
- Диаграмма, заданная таким непустым артиновским словом, что образующая Артина с наименьшим (среди присутствующих в слове) индексом входит в него только в положительных степенях[35].
- Также используются термины -положительная диаграмма и D-положительная диаграмма[36].
- Положительная по Деорнуа коса
- Коса, имеющая положительную по Деорнуа диаграмму.
- Также используются термины -положительная коса и D-положительная коса[36].
- Полный инвариант
- Инвариант, задающий на множестве кос инъективную функцию.
- Порядок Деорнуа
- Определённый левоинвариантный линейный порядок на группе кос из нитей[37]. По определению, коса меньше косы в порядке Деорнуа, что обозначается символом , если либо , либо коса является положительной по Деорнуа. Во втором случае при обозначении используется строгое неравенство: .
- Представление Бурау
- Определённое линейное представление группы кос из [38].
- Представление Лоуренс — Краммера — Бигелоу
- Определённое линейное представление группы кос из [39].
- Преобразование геометрических кос
- Произвольная геометрическая процедура, задающая функцию (возможно, многозначную) из множества геометрических кос в себя.
- Преобразование диаграмм
- Произвольная геометрическая процедура, задающая функцию (возможно, многозначную) из множества всех диаграмм в себя. Обычно задаётся в терминах представляющих данные диаграммы артиновских слов.
- Преобразование замкнутых кос
- Произвольная геометрическая процедура, проводимая над представителями замкнутых кос и задающая функцию (возможно, многозначную) из множества замкнутых кос в себя.
- Преобразование кос
- Произвольная геометрическая процедура, проводимая над геометрическими представителями кос и задающая функцию (возможно, многозначную) из множества кос в себя.
- Произведение кос
- Определённая бинарная операция на множестве всех кос из одинакового числа нитей[10]. Произведением геометрических кос из нитей называется геометрическая коса из нитей, состоящая из таких точек , что , если , и , если . Произведением кос и называется коса, заданная произведением любых их геометрических представителей, которая обозначается символом .
положительный перекрёсток | отрицательный перекрёсток |
Р
править- Разводимая коса
- Коса, которая имеет геометрического представителя, лежащего по разные стороны от некоторой полосы вида , где . Или, что то же самое, записывается артиновским словом, в котором хотя бы одна из образующих Артина отсутствует вместе со своей обратной.
- Также используется термин расщепимая коса[40].
С
править- Соотношение Артина
- Соотношение между образующими Артина из нитей, имеющее вид , где .
- Также используются термины соотношение кос[41], уравнение Артина, уравнение кос и уравнение Янга — Бакстера[42].
- Соотношение дальней коммутативности
- Соотношение между образующими Артина, имеющее вид , где .
- Два артиновских слова представляют изотопные диаграммы в том и только в том случае, если одну можно получить из другой применением конечной последовательности таких соотношений.
- Также используются термины дальняя коммутативность[43] и соотношение коммутативности для отдалённых кос[41].
- Сопряжение
- Преобразование кос, заключающееся в переходе от косы к косе , где — некоторая коса с тем же числом нитей, а символ обозначает обратную косу. Также используется термин сопряжение косой .
- Косы называются сопряженными, если одну можно получить из другой сопряжением некоторой косой. Сопряженность — соответствующее отношение эквивалентности на множестве всех кос.
- Также используются термины первое движение Маркова[7] и первое преобразование Маркова[9].
- Стабилизация
- 1. Определённое преобразование кос. Положительная стабилизация — переход от косы из нитей к косе из нитей, где — образующая Артина. Отрицательная стабилизация — аналогичный переход от косы к косе .
- 2. Преобразование замкнутых кос, заключающееся в применении одной из двух вышеуказанных операций к некоторой косе, представляющей данную замкнутую косу.
- Дестабилизация — обратное преобразование.
Т
править- Тензорное произведение кос
- Определённая бинарная операция на множестве всех кос, заключающаяся в параллельном приставлении одной косы к другой[44]. Тензорным произведением геометрических кос из и нитей, расположенных в и , называется геометрическая коса из нитей, состоящая из таких точек , что , если , и , если . Тензорным произведением кос называется коса, заданная тензорным произведением любых их геометрических представителей с указанными выше свойствами.
- Тень диаграммы
- Образ ортогональной проекции, соответствующей диаграмме.
- Тривиальная коса
- Коса, которая удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:
- Она имеет геометрического представителя вида для некоторого [10].
- Она имеет геометрического представителя, лежащего в полосе .
- Она имеет диаграмму с нулём перекрёстков.
Ф
править- Фундаментальная коса
- Коса из нитей, заданная следующим артиновским словом[3]:
- .
Ц
править- Центральная коса
- Коса из нитей, являющаяся квадратом фундаментальной косы.
- Также используется термин полный оборот нитей[45].
Э
править- Экспоненциальная сумма
- Целочисленная характеристика косы, равная разности между количеством положительных и отрицательных перекрёстков на любой диаграмме этой косы. Является инвариантом.
- Элементарная изотопия
- Преобразование полигональных кос, заключающееся в замене звена (прямолинейного отрезка) на два звена и , а также обратное преобразование, осуществляемое при условии, что треугольник не пересекает остальные звенья полигональной косы по своей внутренности или границе[46].
- Также используется термин элементарное преобразование.
Примечания
править- ↑ 1 2 Малютин, 2004, p. 75.
- ↑ Малютин, 2019, p. 203.
- ↑ 1 2 3 4 Малютин и Нецветаев, 2003, p. 172.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, p. 352.
- ↑ Мантуров, 2005, p. 108.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, p. 16.
- ↑ 1 2 Кассель и Тураев, 2014, p. 96.
- ↑ Мантуров, 2010, p. 122.
- ↑ 1 2 Сосинский и Прасолов, 1997, p. 89.
- ↑ 1 2 3 4 Кассель и Тураев, 2014, p. 18.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, p. 19.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, p. 20.
- ↑ Мантуров, 2010, p. 115.
- ↑ Малютин, 2019, p. 200.
- ↑ Малютин, 2004, p. 77.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, p. 78.
- ↑ Artin, 1947, p. 104.
- ↑ Дужин, 2011, p. 178.
- ↑ 1 2 Малютин и Нецветаев, 2003, p. 176.
- ↑ Дужин, 2011, p. 179.
- ↑ Сосинский и Прасолов, 1997, p. 91.
- ↑ Матвеев и Фоменко, 1998, p. 74.
- ↑ 1 2 Кассель и Тураев, 2014, p. 33.
- ↑ Малютин и Нецветаев, 2003, p. 184.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, p. 30.
- ↑ Сосинский, 2005, p. 36.
- ↑ Малютин, 2019, p. 201.
- ↑ Малютин, 2009, p. 118.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, p. 324.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, p. 17.
- ↑ Звонкин и Ландо, 2010, p. 316.
- ↑ Малютин, 2019, p. 208.
- ↑ Малютин, 2004, p. 83.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, p. 323.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, p. 353.
- ↑ 1 2 Малютин и Нецветаев, 2003, p. 173.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, p. 354.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, p. 127.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, p. 156.
- ↑ Малютин, 2004, p. 72.
- ↑ 1 2 Сосинский, 2005, p. 37.
- ↑ Сосинский, 2001, p. 13.
- ↑ Мантуров, 2005, p. 110.
- ↑ Кассель и Тураев, 2014, p. 98.
- ↑ Мантуров, 2010, p. 116.
- ↑ Сосинский и Прасолов, 1997, p. 71.
Литература
править- Кассель, К., Тураев, В. Г. Группы кос = Braid groups / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М.: МЦНМО, 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6.
- Сосинский, А. Б. Узлы и косы . — М.: МЦНМО, 2001. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6.
- Прасолов, В. В., Сосинский, А. Б. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия . — М.: МЦНМО, 1997. — 352 с. — ISBN 5-900916-10-3.
- Сосинский, А. Б. Узлы. Хронология одной математической теории . — М.: МЦНМО, 2005. — 112 с. — ISBN 5-94057-220-0.
- Мантуров, В. О.. Теория узлов . — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3.
- Матвеев, С. В., Фоменко, А. Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии . — 2. — М.: Наука, 1998. — 304 с. — (Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения). — ISBN 5-02-013655-7.
- Звонкин, А. К., Ландо, С. К. Графы на поверхностях и их приложения . — М.: МЦНМО, 2010. — 480 с. — ISBN 978-5-94057-588-7.
Ссылки
править- Мантуров, В. О.. Экскурс в теорию кос // Математическое просвещение. — М.: МЦНМО, 2010. — Т. 3, вып. 14. — С. 107—142. — ISBN 978-5-94057-597-9.
- Малютин, А. В.. Эффект целочисленного квантования числа вращения в группах кос // Труды Математического института имени В. А. Стеклова. — 2019. — Т. 305. — С. 197—210. — doi:10.4213/tm4017.
- Малютин, А. В.. Закрученность (замкнутых) кос // Алгебра и анализ. — 2004. — Т. 16, вып. 5. — С. 59—91.
- Малютин, А. В., Нецветаев, Н. Ю.. Порядок Деорнуа на группе кос и преобразования замкнутых кос // Алгебра и анализ. — 2003. — Т. 15, вып. 3. — С. 170—187.
- Малютин, А. В.. Псевдохарактеры групп кос и простота зацеплений // Алгебра и анализ. — 2009. — Т. 21, вып. 2. — С. 113—135.
- Дужин, С. В. Многочлен Конвея и разложение Магнуса // Алгебра и анализ. — 2011. — Т. 23, вып. 3. — С. 175—188.
- Artin, E.. Theory of Braids (англ.) // Annals of Mathematics. — Princeton University and the Institute for Advanced Study, 1947. — Vol. 48, no. 1. — P. 101–126. — ISSN 0003-486X. — doi:10.2307/1969218.