Открыть главное меню

Дизъюнктное объединение (также несвязное объединение или несвязная сумма) — это измененная операция объединения множеств в теории множеств, которая, неформально говоря, заключается в объединении непересекающихся «копий» множеств. В частности дизъюнктное объединение двух конечных множеств, состоящих из и элементов, будет содержать ровно элементов, даже если сами множества пересекаются.

Содержание

ОпределениеПравить

Пусть   — семейство множеств, перечисленных индексами из  . Тогда дизъюнктное объединение этого семейства есть множество

 

Элементы дизъюнктного объединения являются упорядоченными парами  . Таким образом   есть индекс, показывающий, из какого множества   элемент вошёл в объединение. Каждое из множеств   канонически вложено в дизъюнктное объединение как множество

 

При   множества   и   не имеют общих элементов, даже если  . В вырожденном случае, когда множества   равны какому-то конкретному  , дизъюнктное объединение есть декартово произведение множества   и множества  , то есть

 

ИспользованиеПравить

Иногда можно встретить обозначение   для дизъюнктного объединения двух множеств или следующее для семейства множеств:

 

Такая запись подразумевает, что мощность дизъюнктного объединения равна сумме мощностей множеств семейства. Для сравнения, декартово произведение имеет мощность, равную произведению мощностей.

В категории множеств дизъюнктным объединением является прямая сумма. Термин дизъюнктное объединение также используется в отношении объединения семейства попарно непересекающихся множеств. В этом случае дизъюнктное объединение обозначается, как обычное объединение множеств, совпадая с ним. Такое обозначение часто встречается в информатике. Более формально, если   — это семейство множеств, то

 

есть дизъюнктное объединение в рассмотренном выше смысле тогда и только тогда, когда при любых   и   из   выполняется следующее условие:

 

Вариации и обобщенияПравить

  • Если все множества дизъюнктного объединения наделены топологией, то само дизъюнктное объединение топологических пространств (то есть множеств наделённых топологией) имеет естественную топологию — самую сильную топологию такую, что каждое включение является непрерывным отображением. Дизъюнктное объединение с этой топологией называется несвязным объединением топологических пространств.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М.: Высшая школа, 1979. — С. 132.
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — С. 9.
  • Мельников О. В. и др. Общая алгебра: В 2 т. Т. 1. — М.: Наука, 1990. — С. 13. — ISBN 5020144266.