Представление Бурау

Представление Бурау — линейное представление группы кос, введённое в 1935 году немецким математиком Вернером Бурау.

Определение

Представлением Бурау (или неприведённым представлением Бурау) называется гомоморфизм

$\psi _{n}\colon B_{n}\to {\rm {GL}}_{n}(\Lambda )$

из группы кос из $n\geq 2$ нитей в полную линейную группу кольца $\Lambda :=\mathbb {Z} [t,t^{-1}]$ многочленов Лорана с целыми коэффициентами одной переменной $t$, заданный на образующих Артина равенством

$\psi _{n}(\sigma _{i}):=\left({\begin{array}{c|cc|c}E_{i-1}&0&0&0\\\hline 0&1-t&t&0\\0&1&0&0\\\hline 0&0&0&E_{n-i-1}\end{array}}\right),$

где символ $E_{k}$ обозначает единичную матрицу размера $k\times k$, рассматриваемую как блок блочно-диагональной матрицы $\psi _{n}(\sigma _{i})$. Образом обратной образующей Артина при таком гомоморфизме является матрица

$\psi _{n}(\sigma _{i}^{-1}):=\left({\begin{array}{c|cc|c}E_{i-1}&0&0&0\\\hline 0&0&1&0\\0&t^{-1}&1-t^{-1}&0\\\hline 0&0&0&E_{n-i-1}\end{array}}\right).$

Элементы образа представления Бурау называются матрицами Бурау.

Интерпретации

Данное линейное представление допускает следующую наглядную интерпретацию. С каждой косой $\beta \in B_{n}$ свяжем элемент $\varphi _{n}(\beta )\in {\rm {GL}}_{n}(\Lambda )$, задав соответствующее ему линейное преобразование векторного пространства $\Lambda ^{n}$. Чтобы определить действие этого преобразования на упорядоченном наборе $(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})\in \Lambda ^{n}$, выберем диаграмму косы $\beta$ и следующим образом сопоставим элементы кольца $\Lambda$ дугам этой диаграммы. Сначала для каждого $k\in \{1,2,\ldots ,n\}$ отметим на дуге, содержащей $k$-ый левый конец косы (при нумерации концов снизу вверх), элемент $\lambda _{k}$. Далее, шаг за шагом распространим данное сопоставление на все остальные дуги: для каждого перекрёстка, в котором на двух из трёх составляющих его дуг уже отмечены элементы $x$ и $y$, где $y$ — метка верхней ветви перекрёстка, припишем оставшейся дуге элемент $tx+(1-t)y$, если перекрёсток является положительным, и элемент $t^{-1}x+(1-t^{-1})y$, если перекрёсток является отрицательным. Результатом действия искомого преобразования на исходном наборе полагается, по определению, упорядоченный набор $(\lambda _{1}^{\prime },\lambda _{2}^{\prime },\ldots ,\lambda _{n}^{\prime })$, где $\lambda _{k}^{\prime }$ — метка дуги, содержащей $k$-ый правый конец косы (при нумерации концов снизу вверх). Тогда

$\psi _{n}=\varphi _{n}\circ \tau _{n}$,

где $\tau _{n}\in {\rm {Aut}}(B_{n})$ — отражение кос.

Специализации

Отдельный интерес представляют специализации

$B_{n}\to {\rm {GL}}_{n}(\mathbb {C} )$

представления Бурау, получающиеся из него подстановкой вместо переменной $t$ некоторого фиксированного ненулевого комплексного числа. Наиболее изученными являются специализации в корнях из единицы.

Перестановочное представление

Результат подстановки $t=1$ в матрицу Бурау косы является матрицей перестановки, соответствующей этой косе. Таким образом, специализация представления Бурау при $t=1$ совпадает с композицией

$B_{n}\to S_{n}\to {\rm {GL}}_{n}(\mathbb {Z} )$

гомоморфизма, отображающего косу в её перестановку, и линейного перестановочного представления симметрической группы.

Целочисленное представление Бурау

Специализация представления Бурау при $t=-1$ имеет вид

$\rho \colon B_{n}\to {\rm {GL}}_{n}(\mathbb {Z} )$

и называется целочисленным представлением Бурау. Его ядро называется заплетённой группой Торелли (от англ. braid Torelli group) и обозначается символом $BI_{n}$.

Для $m\in \mathbb {N}$ композиция целочисленного представления Бурау с редукцией по модулю $m$ задаёт представление

$\rho _{m}\colon B_{n}\to {\rm {GL}}_{n}(\mathbb {Z} )\to {\rm {GL}}_{n}(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )$.

Его ядро называется конгруэнтной подгруппой уровня $m$ (от англ. level $m$ congruence subgroup) или группой кос уровня $m$ (от англ. level $m$ braid group) и обозначается символом $B_{n}[m]$.

См. также

• Группа кос

Литература

• Мантуров, В. О. Экскурс в теорию кос // Математическое просвещение. — М.: МЦНМО, 2010. — Т. 3, вып. 14. — С. 107–142. — ISBN 978-5-94057-597-9.
• Кассель, К, Тураев, В. Г. Группы кос = Braid groups (рус.) / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М.: МЦНМО, 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6.