Многочлен Лорана

Не следует путать с Рядом Лорана — многочлен и ряд не тождественные понятия.

Многочлен Лорана — линейная комбинация положительных и отрицательных степеней переменной с коэффициентами из данного поля. От обычных многочленов многочлен Лорана отличается тем, что показатель степени может быть отрицательным. Многочлены Лорана используются в теории функций комплексного переменного.

Названы в честь Пьера Лорана.

Определение

Многочлен Лорана с коэффициентами из поля $\mathbb {F}$ — это выражение вида

$p=\sum _{k}p_{k}X^{k},\quad p_{k}\in \mathbb {F} ,$

где X — формальная переменная, $k$ — целое число (не обязательно положительное) и только конечное число $p_{k}$ не равны нулю.

Два многочлена Лорана равны, если их соответствующие коэффициенты равны. Многочлены Лорана можно складывать и умножать точно также, как и обычные многочлены, но нужно помнить о том, что могут присутствовать отрицательные степени X

$\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i}b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i}(a_{i}+b_{i})X^{i}$

и

$\left(\sum _{i}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{i,j}a_{i}\cdot b_{j}\cdot X^{i+j}.$

Так как количество отличных от нуля коэффициентов $a_{j}$ и $b_{j}$ конечно, то все суммы будут иметь конечное количество членов и таким образом будут отображать многочлен Лорана.

Свойства

• Многочлен Лорана над полем $\mathbb {C}$ может рассматриваться как ряд Лорана с конечным числом неотрицательных коэффициентов.
• Кольцо многочленов Лорана является подкольцом кольца дробно-рациональных функций.

См. также

• Ряд Лорана

Литература

• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.