Открыть главное меню

Цилиндр

Прямой круговой цилиндр.
Здание Планетария Тихо Браге, Копенгаген, его крыша является примером цилиндрического сечения

Цили́ндр (др.-греч. κύλινδρος — валик, каток) — геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Содержание

Связанные определенияПравить

  • Цилиндрическая поверхность — поверхность, образуемая однопараметрическим семейством параллельных прямых (называемых образующими) и проходящими через точки некоторой кривой (называемой направляющей).
  • Плоские фигуры, образованные пересечением цилиндрической поверхности с двумя параллельными плоскостями называются основаниями цилиндра.
  • Цилиндрическая поверхность между плоскостями оснований называется боковой поверхностью цилиндра.
  • В случае параллельности плоскости основания и плоскости направляющей, граница основания будет по форме совпадать с направляющей.

ТипыПравить

В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая — окружность и основания перпендикулярны образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии.

Другие виды цилиндра — (по наклону образующей) косой или наклонный (если образующая касается основания не под прямым углом); (по форме основания) эллиптический, гиперболический, параболический.

Призма также является разновидностью цилиндра — с основанием в виде многоугольника.

 
Сечения (сечение плоскостью).

Площадь поверхности цилиндраПравить

Площадь боковой поверхностиПравить

 
К вычислению площади боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой   и длиной  , равной периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:

 

В частности, для прямого кругового цилиндра:

 , и  , здесь и далее   — радиус основания цилиндра.

Для наклонного цилиндра площадь боковой поверхности равна длине образующей, умноженной на периметр сечения, перпендикулярного образующей:

 

Простой формулы, выражающей площадь боковой поверхности косого цилиндра через параметры основания и высоту, в отличие от объёма не существует. Для наклонного кругового цилиндра можно воспользоваться приближёнными формулами для периметра эллипса, а затем умножить полученное значение на длину образующей.

Площадь полной поверхностиПравить

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований.

Для прямого кругового цилиндра:  

Объём цилиндраПравить

Для наклонного цилиндра существуют две формулы:

  • Объём равен длине образующей, умноженной на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.
     ,
  • Объём равен площади основания, умноженной на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания):
     ,
где   — длина образующей, а   — угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра  .

Для прямого цилиндра  ,   и  , и объём равен:

  •  

Для кругового цилиндра:

 ,

где d — диаметр основания.

ПримечанияПравить

  1. 40 лет «4 цилиндрам» — главному офису BMW в Мюнхене Архивировано 23 ноября 2015 года.  (рус.) на официальном сайте BMW, 26 июля 2013