Открыть главное меню

Многочлен Джонса — полиномиальный инвариант узла, сопоставляющий каждому узлу или зацеплению многочлен Лорана от формальной переменной с целыми коэффициентами. Построен Воном Джонсом в 1984 году.

Содержание

Определение через скобку КауффманаПравить

Для заданного ориентированного зацепления   определяется вспомогательный многочлен:

 ,

где   — число закрученности диаграммы  , а   — скобка Кауффмана. Число закрученности определяется как разница между числом положительных перекрёстков   и числом отрицательных перекрёстков   и не является инвариантом узла: оно не сохраняется при преобразованиях Рейдемейстера I типа.

  — инвариант узла, поскольку он инвариантен относительно всех трёх преобразований Рейдемейстера диаграммы  . Инвариантность относительно преобразований II и III типов следует из инвариантности скобки Кауффмана и числа закрученности относительно этих преобразований. Напротив, для преобразования I типа скобка Кауффмана умножается на  , что в точности компенсируется изменением на +1 или −1 числа закрученности  .

Многочлен Джонса определяется из   подстановкой:

 ,

результирующее выражение является многочленом Лорана от переменной  .

Определение через представления группы косПравить

Оригинальное определение Джонса использует операторную алгебру и понятие следа представления кос, возникшего в статистической механике (модель Поттса[en]).

Теорема Александера[en] утверждает, что любое зацепление   является замыканием косы с   нитями, в связи с этим можно определить представление   группы кос   с   нитями на алгебре Темперли — Либа   с коэффициентами из   и  . Стандартная образующая косы   равна  , где   — стандартные образующие алгебры Темперли — Либа. Для слова   косы   вычисляется  , где   — след Маркова, в результате получается  , где     — скобочный полином.

Преимущество этого подхода состоит в том, что выбрав аналогичные представления в других алгебрах, таких как представление  -матриц, можно прийти к обобщениям инвариантов Джонса (например, таковым явяялется[1] понятие  -параллельного полинома Джонса).

Определение через скейн-соотношенияПравить

Многочлен Джонса однозначно задаётся тем, что он равен 1 на любой диаграмме тривиального узла, и следующим скейн-соотношением:

 ,

где  ,  , и   — три ориентированных диаграммы зацепления, совпадающих везде, кроме малой области, где их поведение соответственно является положительным и отрицательным пересечениями и гладким проходом без общих точек:

 

Связь с другими теориямиПравить

Теория Черна — Саймонса описывает топологический порядок в состояниях дробного квантового эффекта Холла. С точки зрения математики теория Черна — Саймонса интересна тем, что позволяет вычислять инварианты узлов, такие как многочлен Джонса.

В 2000 году Михаил Хованов построил цепной комплекс для узлов и зацеплений и показал, что гомологии этого комплекса являются инвариантом узлов (гомологии Хованова[en]). Эта теория гомологий является категорификацией многочлена Джонса, то есть многочлен Джонса является эйлеровой характеристикой для этой гомологии.

СвойстваПравить

Многочлен Джонса обладает многими замечательными свойствами[2][3].

Для зацеплений с нечётным числом компонент (в частности, для узлов) все степени переменной   в многочлене Джонса целые, а для зацеплений с чётным числом компонент — полуцелые.

Многочлен Джонса связной суммы узлов равен произведению полиномов Джонса слагаемых, то есть:

 .

Многочлен Джонса несвязной суммы узлов равен:

 .

Многочлен Джонса объединения зацепления   и тривиального узла равен:

 .

Для   — ориентированного зацепления, получаемого из заданного ориентированного зацепления   заменой ориентации некоторой компоненты   на противоположную, имеет место:

 ,

где   — это коэффициент зацепления компоненты   и  .

Многочлен Джонса не меняется при обращении узла, то есть при замене направления обхода на противоположное (смене ориентации).

Зеркально-симметричный образ зацепления имеет многочлен Джонса, получающийся заменой   на   (свойство легко проверяется с использованием определения через скобку Кауффмана).

Если   — узел, тогда:

 .

Значение многочлена Джонса для узла   с числом компонент зацепления   в точке 1:

 .

Многочлен Джонса  -торического узла:

 .

Открытые проблемыПравить

В 2003 году построено семейство нетривиальных зацеплений с многочленом Джонса равным многочлену Джонса тривиального зацепления[4], при этом неизвестно, существует ли нетривиальный узел, многочлен Джонса которого является таким же, как и у тривиального узла. В 2017 году построено семейство нетривиальных узлов   с   пересечениями, для которых многочлен Джонса   сравним с единицей по модулю  [5].

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить