Открыть главное меню

Полином Джонса — полиномиальный инвариант узла. Более точно, это инвариант, сопоставляющий каждому узлу или зацеплению полином Лорана от формальной переменной t1/2 с целыми коэффициентами. Обнаружен Воганом Джонсом в 1984 году.

Содержание

Определение через скобку КауффманаПравить

Пусть задано ориентированное зацепление L. Определим сначала вспомогательный многочлен  , где  число закрученности диаграммы  , а  скобка Кауффмана. Число закрученности определяется как разница между числом положительных перекрёстков (  на рисунке ниже) и числом отрицательных перекрёстков, (  на рисунке ниже), и не является инвариантом узла: оно не сохраняется при преобразованиях Рейдемейстера I типа.

Тогда   будет инвариантом узла, поскольку оно будет инвариантным относительно всех трёх преобразований Рейдемейстера диаграммы  . Инвариантность относительно преобразований II и III типов следует из инвариантности скобки Кауффмана и числа закрученности относительно этих преобразований. Напротив, для преобразования I типа скобка Кауффмана умножается на  , что в точности компенсируется изменением на +1 или -1 числа закрученности  .

Теперь, выполняя подстановку   в  , мы получаем искомый многочлен Джонса  . Он, как уже было сказано выше, является многочленом Лорана от переменной  .

Определение через представления группы косПравить

Джонс определил свой полином, используя операторную алгебру. Подход Джонса, основанный на понятии "следа", в частности, представлении кос, привёл к появлению алгебры, которая возникает при изучении некоторых моделей, например, модель Поттса в статистической механике.

Пусть задано зацепление  . Теорема Александера утверждает, что любое зацепление является замыканием косы с   нитями. Теперь определим представление   группы кос с   нитями,  , на алгебре Темперли-Либа   с коэффициентами из   и  . Стандартная образующая косы   равна  , где   - стандартные образующие алгебры Темперли-Либа. Это можно легко проверить с помощью определения представления. Рассмотрим слово   косы, полученную из   и вычислим  , где   - след Маркова. Это даёт  , где     - скобочный полином.

Преимущество этого подхода состоит в том, что выбрав аналогичные представления в других алгебрах, таких как представление  -матриц, можно прийти к "обобщению инвариантов Джонса" (например, в[1] вводится понятие  -параллельного полинома Джонса).

Определение через скейн-соотношенияПравить

Полином Джонса однозначно задаётся тем, что он равен 1 на любой диаграмме тривиального узла, и следующим скейн-соотношением:

 

Здесь  ,  , и   это три ориентированных диаграммы зацепления, совпадающих везде, кроме малой области, где их поведение соответственно является положительным и отрицательным пересечениями и гладким проходом без общих точек — см. следующий рисунок:

Связь с другими теориямиПравить

Связь с теорией Черна-СаймонсаПравить

В физике конденсированного состояния теория Черна — Саймонса описывает топологический порядок в состояниях дробного квантового эффекта Холла. С точки зрения математики теория Черна — Саймонса интересна тем, что позволяет вычислять инварианты узлов, такие как полином Джонса.

Связь с гомологиями ХовановаПравить

В 2000 году Михаил Хованов построил цепной комплекс для узлов и зацеплений и показал, что гомологии этого комплекса являются инвариантом узлов (гомологии Хованова[en]). Эта теория гомологий является категорификацией полинома Джонса, то есть полином Джонса является эйлеровой характеристикой для этой гомологии.

Свойства полинома ДжонсаПравить

Полином Джонса обладает многими замечательными свойствами[2][3].

  • Для зацеплений с нечётным числом компонент (в частности, для узлов) все степени переменной   в полиноме Джонса целые, а для зацеплений с чётным числом компонент — полуцелые.
  • Полином Джонса связной суммы узлов равен произведению полиномов Джонса слагаемых, то есть
 
  • Полином Джонса несвязной суммы узлов равен
 
  • Полином Джонса объединения зацепления   и тривиального узла равен
 
  • Пусть k одна из компонент ориентированного зацепления L. Обозначим через L* новое ориентированное зацепление, в котором заменена ориентация компоненты k на противоположную. Тогда   где   это коэффициент зацепления компоненты k и L — k.
  • Полином Джонса не меняется при обращении узла, то есть при замене направления обхода на противоположное (смене ориентации).
  • Зеркально-симметричный образ зацепления имеет полином Джонса, отличающийся заменой t на t−1. В частности, полином Джонса узла, изотопного своему зеркальному образу — палиндром. Это свойство можно легко проверить с помощью определения полинома Джонса через скобку Кауффмана.
  • Если   — узел, тогда
 
  •  , где   — это число компонент зацепления  .
  • Полином Джонса (m, n) — торического узла равен
 

Открытые проблемыПравить

Существует ли нетривиальный узел, полином Джонса которого является таким же, как и у тривиального узла? Shalom Eliahou и Jean Fromentin построили семейство нетривиальных узлов Kr с   пересечениями для которых полином Джонса V(Kr) сравним с единицей по модулю  [4]. Shalom Eliahoua, Louis H. Kauffman, Morwen B. Thistlethwaite предъявили семейство нетривиальных зацеплений с полиномом Джонса равным полиному тривиального зацепления[5].

Полином Джонса тенглаПравить

Конструкция полинома Джонса для тенгла является простым обобщением скобки Кауффмана для зацеплений. Эта конструкция была предложена В. Тураевым и опубликована в 1990 году[источник не указан 438 дней].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить