Связная сумма

Связная сумма — конструкция в топологии, позволяющая построить связное $n$-мерное многообразие по двум данным связным $n$-мерным многообразиям.

Связная сумма сферы с двумя ручками и тора.

Связная сумма многообразий $M$ и $N$ обычно обозначается $M\#N$.

Построение

Для построения связной суммы $M\#N$ необходимо вырезать из $M$ и $N$ по открытому шару и склеить полученные сферические края по гомеоморфизму. Если оба многообразия ориентируемы, то при склеивании учитывается ориентация.

Для определения связной суммы в гладкой категории, склеивают воротнички у края по диффеоморфизму.

Эта операции однозначно определена с точностью до гомеоморфизма и соответственно диффеоморфизма.

Примеры

• $S^{n}\#M^{n}$ гомеоморфно $M^{n}$.

Свойства

• Операция связной суммы коммутативна с точностью до диффеоморфизма; то есть, $M\#N$ диффеоморфно $N\#M$.
• Относительно операции связной суммы, гладкие структуры на сфере образуют группу.

Вариации и обобщения

• Связная сумма узлов