Многогранник Ньютона

Многогранник Ньютона — многогранник с целочисленными вершинами в n-мерном евклидовом пространстве, который строится по многочлену от n переменных.

Конструкция

Предположим

$f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum a_{i_{1},\dots ,i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\dots x_{n}^{i_{n}}$

есть многочлен от n переменных. Обозначим через $I$ множество всех мультииндексов $i_{1},\dots ,i_{n}$ таких, что $a_{i_{1},\dots ,i_{n}}\neq 0$. По определению многочлена $I$ конечно.

Выпуклая оболочка

$N_{f}=\mathop {\rm {Conv}} I\subset \mathbb {R} ^{n}$

называется многогранником Ньютона многочлена $f$.

Свойства

• Типичное число ненулевых решений системы полиномиальных уравнений $f_{1}=\dots =f_{n}=0$ равно

  $n!\cdot V(N_{1},\dots ,N_{n}),$

где $N_{i}$ многогранник Ньютона многочлена $f_{i}$ и $V(N_{1},\dots ,N_{n})$ — их смешанный объём.

Вариации и обобщения

• Многогранник Ньютона — Окунькова — аналогичная конструкция для типичных линейных комбинаций данных многочленов.

Литература

• Бураго, Юрий Дмитриевич, Виктор Абрамович Залгаллер. Геометрические неравенства. Наука, 1980.
• Valentina Kiritchenko, Evgeny Smirnov, Vladlen Timorin, Ideas of Newton-Okounkov bodies, Snapshots of modern mathematics from Oberwolfach, No. 8/2015: